Question

14．如圖，在Rt△ABC中，AB=AC=$\sqrt{2}$，∠BAC=90°，點D、E在線段BC上運動，設(shè)BE=x，CD=y．下列結(jié)論中一定成立的是①③④．（填寫所有正確結(jié)論的序號）
①若BE=BA，CD=CA，則∠DAE=45°；
②若∠DAE=45°，則BE=BA，CD=CA；
③若∠DAE=45°，則xy=2；
④若xy=2，則∠DAE=45°．

Answer 1

分析 ①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠B=∠C=45°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到$∠BAE=∠CAD=\frac{1}{2}$（180°-45°）=67.5°，于是得到∠DAE=∠BAE+∠CAD-∠BAC=45°，故①正確；
②由∠DAE=45°，得不到∠BAE等于∠BEA，于是得到BE不一定等于BA，同理CD不一定等于CA，故②錯誤；
③由∠DAE=45°，得到∠B=∠DAE，推出△ABE∽△DAE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{AB}{BE}=\frac{AD}{AE}$，同理$\frac{CD}{AC}=\frac{AD}{AE}$，等量代換得到$\frac{AB}{BE}=\frac{CD}{AC}$，即$\frac{\sqrt{2}}{x}=\frac{y}{\sqrt{2}}$，求得xy=2；故③正確；
④由xy=2，得到$\frac{\sqrt{2}}{x}=\frac{y}{\sqrt{2}}$，即$\frac{AB}{BE}=\frac{CD}{AC}$，推出△ABE∽△ACD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到∠BAE=∠ADE，證得△ABE∽△ADE，于是得到∠DAE=∠B=45°，故④正確．

解答 解：①∵AB=AC=$\sqrt{2}$，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°，
∵BE=BA，CD=CA，
∴$∠BAE=∠CAD=\frac{1}{2}$（180°-45°）=67.5°，
∴∠DAE=∠BAE+∠CAD-∠BAC=45°，故①正確；
②∵∠DAE=45°，
則∠BAE不一定等于∠BEA，
∴BE不一定等于BA，同理CD不一定等于CA，故②錯誤；
③∵∠DAE=45°，
∴∠B=∠DAE，
∵∠BEA=∠DEA，
∴△ABE∽△DAE，
∴$\frac{AB}{BE}=\frac{AD}{AE}$，
同理$\frac{CD}{AC}=\frac{AD}{AE}$，
∴$\frac{AB}{BE}=\frac{CD}{AC}$，即$\frac{\sqrt{2}}{x}=\frac{y}{\sqrt{2}}$，
∴xy=2；故③正確；
④∵xy=2，
∴$\frac{\sqrt{2}}{x}=\frac{y}{\sqrt{2}}$，
即$\frac{AB}{BE}=\frac{CD}{AC}$，
∵∠B=∠C，
∴△ABE∽△ACD，
∴∠BAE=∠ADE，
∵∠AED=∠AEB，
∴△ABE∽△ADE，
∴∠DAE=∠B=45°，故④正確，
故答案為：①③④．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．