Question

9．已知一次函數(shù)y=-2x+4與x軸、y軸交于點A，B．
（1）分別求出點A，B兩點的坐標．
（2）以AB為邊作等腰直角三角形ABP，若點P在第一象限，請求出點P的坐標．
（3）在（2）的結(jié)論下，過點P作直線AB的平行線，分別交x軸、y軸于點D和點C，請求出四邊形ABCD的面積．

Answer 1

分析 （1）令x=0，求得y即可求得與y軸的交點；令y=0，求得x即可求得與x軸的交點；
（2）分成B是直角頂點，A是直角頂點以及P是直角頂點，利用全等三角形的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)即可求解；
（3）利用待定系數(shù)法求得直線CD的解析式，則C和D的坐標即可求得，然后根據(jù)S_{四邊形ABCD}=S_△OCD-S_△OAB求解．

解答 解：（1）在y=-2x+4中，令x=0，則y=4，則B的坐標是（0，4）．
令y=0，則-2x+4=0，解得：x=2，則A的坐標是（2，0）；
（2）當(dāng)B是等腰△ABP的直角頂點時，如圖1，作PM⊥y軸于點M．
∵∠PBA=90°，
∴∠PBM+∠ABO=90°，
又∵直角△BPM中，∠PBM+∠MPB=90°，
∴∠MPB=∠ABO，
在直角△BPM和直角△ABO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MPB=∠ABP}\\{∠AOB=∠BMP}\\{AB=PB}\end{array}\right.$，
∴△BPM≌△ABO，
∴PM=OB=4，OA=BM=2．
∴OC=4+2，
∴P的坐標是（4，6）；
當(dāng)A是等腰△ABP的直角頂點時，如圖2．
作PN⊥x軸于點N．同理可得△ABO≌△PAN，
∴PN=OA=2，AN=OB=4，
∴P的坐標是（6，2）．
當(dāng)P是直角三角形的直角頂點時，如圖3．
作PF⊥y軸，交AB于點G，作PE⊥AB于點E，則PF∥x軸．
AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
PE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{5}$=$\sqrt{5}$．
∵PF∥x軸，
∴∠PGE=∠OAB，
又∵∠PEG=∠AOB，
∴△OAB∽△EGP，
∴$\frac{PE}{OB}$=$\frac{PG}{AB}$=$\frac{EG}{OA}$，
∴$\frac{\sqrt{5}}{4}$=$\frac{PG}{2\sqrt{5}}$=$\frac{EG}{2}$，
解得：PG=$\frac{5}{2}$，EG=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
∴BG=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∵PF∥x軸，
∴△BFG∽△BOA，
∴$\frac{BF}{OB}$=$\frac{BG}{AB}$=$\frac{FG}{OA}$，即$\frac{BF}{4}$=$\frac{\frac{\sqrt{5}}{2}}{2\sqrt{5}}$=$\frac{GF}{2}$，
∴BF=1，GF=$\frac{1}{2}$，
∴OF=4-1=3，PF=PG+FG=$\frac{5}{2}$+$\frac{1}{2}$=3，
∴P的坐標是（3，3）；
（3）當(dāng)如圖1時，設(shè)經(jīng)過P與AB平行的直線的解析式是y=-2x+b，則-4+b=6，
解得：b=10．
則直線的解析式是y=-2x+10．
令x=0，解得y=10；令y=0，解得x=5，則D的坐標是（0，10），C的坐標是（5，0）．
則S_{四邊形ABCD}=S_△OCD-S_△OAB=$\frac{1}{2}$×5×10-$\frac{1}{2}$×2×4=21；
同理，P在圖2的位置時，S=45；
當(dāng)P的位置如圖3時，S=$\frac{55}{4}$．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，以及等腰三角形的討論求解，正確求得P的坐標是關(guān)鍵．