Question

已知：如圖①，在中，，，，點(diǎn) 由出發(fā)沿方向向點(diǎn)勻速運(yùn)動，速度為1cm/s；點(diǎn)由出發(fā)沿方向向點(diǎn)勻速運(yùn)動，速度為2cm/s；連接．若設(shè)運(yùn)動的時間為（），解答下列問題：

（1）當(dāng)為何值時，？

（2）設(shè)的面積為（），求與之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）是否存在某一時刻，使線段恰好把的周長和面積同時平分？若存在，求出此時的值；若不存在，說明理由；

（4）如圖②，連接，并把沿翻折，得到四邊形，那么是否存在某一時刻，使四邊形為菱形？若存在，求出此時菱形的邊長；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）  ……2分

（2）……3分

（3）不存在，若存在AP+AQ=6，此時t=1再驗(yàn)證面積為2.4，而三角形總面積為6，故不平分……3分

（4）連結(jié)PP，存在，……3分       邊長等于……3分

【解析】（1） 當(dāng)PQ//BC時，知三角形APQ相似三角形ABC，所以有2t ：（5-t）=4：5 ，解得，t =10/ 7

（2）過P作PD垂直AC于D，則三角形APD相似三角形ABC，所以AP：AB=PD：BC

所以（5-t）：5= PD：3 ，所以PD= 3（5-t）/5

 所以y= 1/2 2t3（5-t）/5  = -3/5 t² +3t

(3) 把y= 6代入y= -3/5 t² +3t

得 6 =-3/5 t² +3t

 化簡得， t² -5t+10=0

因△<0,所以此方程無解，所以這樣的時刻不存在

（4）過P作PD垂直BC，若四邊形PQP'C是菱形，則PD垂直平分QC，

所以AD= 4-（4-2t）/2  = 2+t   PD：BC=AP：AB   PD：3= （5-t）：5，所以

PD=3（5-t）/5    因AD：AC=PD：BC  ，所以 （2+t）：4 = 3（5-t）/5 ：3

解得，t=  10/9      所以PD= 7/3 ，  QD= 2-t =8/9   ，利用勾股定理可求PQ