Question

【題目】如圖，若是正數(shù)，直線：與軸交于點(diǎn)；直線：與軸交于點(diǎn)；拋物線：的頂點(diǎn)為，且與軸右交點(diǎn)為.

（1）若，求的值，并求此時(shí)的對稱軸與的交點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）當(dāng)點(diǎn)在下方時(shí)，求點(diǎn)與距離的最大值；

（3）設(shè)，點(diǎn)，，分別在，和上，且是，的平均數(shù)，求點(diǎn)與點(diǎn)間的距離；

（4）在和所圍成的封閉圖形的邊界上，把橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為“美點(diǎn)”，分別直接寫出和時(shí)“美點(diǎn)”的個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（1），；（2）1；（3）；（4）當(dāng)時(shí)“美點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為4040個(gè)，時(shí)“美點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為1010個(gè).

【解析】

（1）先求出A、B 的坐標(biāo)，再由AB=8，可求出b的值，從而得到L的解析式，進(jìn)而可求L的對稱軸與a的交點(diǎn)；

（2）通過配方，求出L的頂點(diǎn)坐標(biāo)，由于點(diǎn)C在l下方，則C與l的距離，配方即可得出結(jié)論；

（3）由題意得y1+y2=2y3，進(jìn)而可得b和x0的方程，解得x0的值，再求出L與x軸右交點(diǎn)D的坐標(biāo)，即可得出結(jié)論；

（4）①當(dāng)b=2019時(shí)，拋物線解析式L：y=﹣x2+2019x，直線a的解析式是：y=x﹣2019，由美點(diǎn)的定義可得美點(diǎn)的個(gè)數(shù)；②當(dāng)b=2019.5時(shí)，拋物線解析式L：y=﹣x2+2019.5x，直線a的解析式是：y=x﹣2019.5，再由美點(diǎn)的定義即可得出美點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

解：（1）當(dāng)時(shí)，，∴.

∵，，

∴，∴，

∴：，

∴的對稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，，

∴的對稱軸與的交點(diǎn)為；

（2）∵，∴的頂點(diǎn).

∵點(diǎn)在下方，∴與的距離是：，

∴點(diǎn)與距離的最大值為1；

（3）∵是，的平均數(shù)，∴，

∴，解得：或.

∵，∴，

對于，當(dāng)時(shí)，，即，解得：，.

∵，∴右交點(diǎn)，

∴點(diǎn)與點(diǎn)間的距離為；

（4）①當(dāng)時(shí)，拋物線解析式：，直線的解析式是：.

聯(lián)立上述兩個(gè)解析式可得：，，

∴可知每一個(gè)整數(shù)的值都對應(yīng)著一個(gè)整數(shù)值，且－1和2019之間（包括－1和2019）共有2021個(gè)整數(shù)；

∵另外要知道所圍成的封閉圖形邊界分兩部分：線段和拋物線，

∴線段和拋物線上各有2021個(gè)整數(shù)點(diǎn)，∴總計(jì)4042個(gè)點(diǎn).

∵這兩段圖象交點(diǎn)有2個(gè)點(diǎn)重復(fù)，

∴“美點(diǎn)”的個(gè)數(shù)：（個(gè)）；

②當(dāng)時(shí)，拋物線解析式：，直線的解析式是：，

聯(lián)立上述兩個(gè)解析式可得：，，

∵當(dāng)取整數(shù)時(shí)，在一次函數(shù)上，取不到整數(shù)值，因此在該圖象上“美點(diǎn)”為0，

在二次函數(shù)圖象上，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)值可取整數(shù)，可知－1到2019.5之間有1010個(gè)偶數(shù)，

因此“美點(diǎn)”共有1010個(gè).

故時(shí)“美點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為4040個(gè)，時(shí)“美點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為1010個(gè).