Question

如圖，⊙O的直徑AB=6cm，DE與⊙O相切于點(diǎn)A，點(diǎn)C為⊙O上的一點(diǎn)，BC的延長(zhǎng)線交DE于點(diǎn)D，CO的延長(zhǎng)線交DE于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線CF交DE于F，且∠CED的正弦值是方程25x²-15

3

x+6=0的兩實(shí)根的平方和．
（1）求證：CE²=AE•DE；
（2）求CF和CD的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專(zhuān)題：綜合題

分析：連接AC，如圖，根據(jù)圓周角定理由AB為⊙O的直徑得∠ACB=90°，則∠2+∠B=90°，再根據(jù)切線的性質(zhì)得AB⊥DE，則∠D+∠B=90°，所以∠D=∠2，加上∠1=∠2，于是由∠1=∠D，然后根據(jù)相似的判定方法得到△EAC∽△ECD，利用相似比即可得到CE²=AE•DE；
（2）設(shè)方程25x²-15

3

x+6=0的兩實(shí)根為m、n，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得m+n=

15 3

25

=

3 3

5

，mn=

6

25

，則可計(jì)算出m²+n²=（m+n）²-2mn=

3

5

，即sin∠CED=

3

5

，
在Rt△AOE中，根據(jù)正弦的定義得OE=5，利用勾股定理計(jì)算出AE=4，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OC⊥CF，所以在Rt△ECF中，利用正弦的定義得sin∠E=

CF

EF

=

3

5

，
設(shè)CF=3x，EF=5x，則CE=4x，易得4x=8，解得x=2，所以CF=6cm；然后利用△EAC∽△ECD得到

8

DE

=

4

8

=

AC

CD

，所以DE=16，AC=

1

2

CD，則AD=DE-AE=12，在Rt△ACD中，利用勾股定理可計(jì)算出CD．

解答：（1）證明：連接AC，如圖，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠2+∠B=90°，
∵DE與⊙O相切于點(diǎn)A，
∴AB⊥DE，
∴∠D+∠B=90°，
∴∠D=∠2，
∵OA=OC，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠D，
∵∠AEC=∠CED，
∴△EAC∽△ECD，
∴

CE

DE

=

AE

CE

，
∴CE²=AE•DE；
（2）解：設(shè)方程25x²-15

3

x+6=0的兩實(shí)根為m、n，
∵m+n=

15 3

25

=

3 3

5

，mn=

6

25

，
∴m²+n²=（m+n）²-2mn=（

3 3

5

）²-2×

6

25

=

3

5

，
∴sin∠CED=

3

5

，
在Rt△AOE中，sin∠E=

OA

OE

=

3

5

，
而OA=3，
∴OE=5，
∴AE=

OE2-OA2

=4，
∵CF為⊙O的切線，
∴OC⊥CF，
在Rt△ECF中，sin∠E=

CF

EF

=

3

5

，
設(shè)CF=3x，EF=5x，則CE=4x，
而CE=OE+OC=5+3=8，
∴4x=8，解得x=2，
∴CF=6cm；
∵△EAC∽△ECD，
∴

CE

DE

=

AE

CE

=

AC

CD

，即

8

DE

=

4

8

=

AC

CD

，
∴DE=16，AC=

1

2

CD，
∴AD=DE-AE=12，
在Rt△ACD中，
∵CD²+AC²=AD²，
∴CD²+

1

4

CD²=12²，
∴CD=

24 5

5

（cm）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握?qǐng)A周角定理和切線的性質(zhì)；會(huì)運(yùn)用相似比、銳角三角函數(shù)和勾股定理進(jìn)行幾何計(jì)算；記住一元二次方程根與系數(shù)．