Question

【題目】如圖，已知拋物線經(jīng)y＝ax2+bx﹣3過(guò)A（1，0）、B（3，0）、C三點(diǎn)．

（1）求拋物線解析式；

（2）如圖1，點(diǎn)P是BC上方拋物線上一點(diǎn)，作PQ∥y軸交BC于Q點(diǎn)．請(qǐng)問(wèn)是否存在點(diǎn)P使得△BPQ為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）如圖2，連接AC，點(diǎn)D是線段AB上一點(diǎn)，作DE∥BC交AC于E點(diǎn)，連接BE．若△BDE∽△CEB，求D點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+4x﹣3；（2）存在點(diǎn)P使得△BPQ為等腰三角形，P點(diǎn)坐標(biāo)為P1（1，0），P2（2，1），；（3）.

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法求解可得拋物線的表達(dá)式；

（2）先求出直線的解析式，分三種情況：當(dāng)時(shí)，設(shè)，可表示出三條線段長(zhǎng)，則解方程可求出P點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）證得可得比例線段求出AE長(zhǎng)，當(dāng)時(shí)可求出D點(diǎn)坐標(biāo)．

（1）將 代入 得： ，

解得 ，

拋物線解析式；

（2）存在點(diǎn)P使得△BPQ為等腰三角形，

∵B（3，0），C（0，﹣3），

∴設(shè)直線BC的解析式為，

∴ ，

解得： ，

∴直線BC的解析式為，

設(shè)，則，可分三種情況考慮：

①當(dāng)時(shí)，由題意得P、Q關(guān)于x軸對(duì)稱，

∴，

解得：（舍去），

∴ ，

②當(dāng)時(shí)， ，

∴ ， （舍去）， ，

∴，

③當(dāng)時(shí)，有 ，

整理得： ，

解得 ．

∴ ．

綜合以上可得P點(diǎn)坐標(biāo)為P1（1，0），P2（2，1），；

（3）∵△BDE∽△CEB，

∴∠ABE＝∠ACB，

∵∠BAE＝∠CAB，

∴△ABE∽△ACB，

又∵ ，

∴

∴

∴

∵ ，

∴

∴

∴

∴ .