Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=50，AC=30，矩形DEFG的頂點(diǎn)G與△ABC的頂點(diǎn)C重合，邊GD、GF分別與AC，BC重合．GD=12，GF=16，矩形DEFG沿射線CB的方向以每秒4個(gè)單位長的速度勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BA方向以每秒5個(gè)單位長的速度勻速運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)Q作射線QK⊥AB，交折線BC-CA于點(diǎn)H，矩形DEFG、點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)A時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，矩形DEFG也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)矩形DEFG、點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（t＞0）．
（1）求線段DF的長；
（2）求運(yùn)動(dòng)過程中，矩形DEFG與Rt△ABC重疊部分的面積s與t的函數(shù)關(guān)系式（寫出自變量的取值范圍）；
（3）射線QK能否把矩形DEFG分成面積相等的兩部分？若能，求出t值；若不能，說明理由；
（4）連接DH，當(dāng)DH∥AB時(shí)，請(qǐng)直接寫出t值．

Answer 1

解：（1）如圖1：連接DF，在Rt△CDF中，CD=12，CF=16，
根據(jù)勾股定理：
DF==20；

（2）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=50，AC=30，
∴BC==40，
根據(jù)題意得：當(dāng)t==10時(shí)，停止運(yùn)動(dòng)；
如圖2：當(dāng)點(diǎn)E在AB上時(shí)，
∵∠C=90°，∠EFG=90°，
∴EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴EF：AC=BF：BC，
∴12：30=BF：40，
∴BF=16，
∴CG=BC-BF-GF=40-16-16=8，
此時(shí)，t=8÷4=2；
如圖3：當(dāng)F與B重合時(shí)，
CG=BC-BG=40-16=24，
此時(shí)，t=24÷4=6，
∵tan∠ABC==，tan∠GBD==，
∴此時(shí)，點(diǎn)D在直線AB上；
①當(dāng)0＜t≤2時(shí)，s=S_矩形DEFG=12×16=192，
②如圖4：當(dāng)2＜t≤6時(shí)，設(shè)矩形DEFG的邊EF交BC于點(diǎn)M，邊DE交AB于點(diǎn)N
∵BF=24-4t tanB=
∴MF=（24-4t）=18-3t，
∴EM=EF-FM=12-（18-3t）=3t-6，
∴NE=EM=4t-8，
∴s=S_矩形DEFG-S_△EMN=192-EM•EN=192-6（t-2）²，
③如圖5：當(dāng)6＜t≤10時(shí)，設(shè)DG與AB交于點(diǎn)M，BG=40-4t，
則MG=BG=30-3t，
則s=S_△BMG=BG•MG=×（40-4t）（30-3t）=6（10-t）²；

（3）能，
如圖6：當(dāng)QK經(jīng)過矩形DEFG的對(duì)稱中心O時(shí)，就可以把矩形DEFG分成面積相等的兩部分；
∵在Rt△GDF與Rt△CAB中，tan∠GDF===，tan∠B==，
∴∠GFD=∠B，
∴DF∥AB，
∴，
∵DF=20，
∴OF=10，
∵BF=24-4t，HF==，QB=5t，
∴BH=BF+FH=24-4t+，
∴，
解得：t=；

（4）如圖7：過點(diǎn)D作MN⊥AB于N，交BC于M，
∵∠GMD+∠B=90°，∠GMD+∠GDM=90°，
∴∠GDM=∠B，
∴GM=GD•tan∠GDM=×12=9，
∴DM==15，
∵BG=40-4t，
∴BM=BG+GM=40-4t+9=49-4t，
∴MN=BM•cos∠B=（49-4t），
∴DN=MN-DM=（49-4t）-15，
∵QH=QB=×5t=t，
∵DH∥AB，
∴QH=DN，
則t=（49-4t）-15，
解得t=．
故t值為．
分析：（1）連接DF，在Rt△CDF中，根據(jù)勾股定理可得DF的長；
（2）分①當(dāng)0＜t≤2時(shí)；②當(dāng)2＜t≤6時(shí)；③當(dāng)6＜t≤10時(shí)三種情況討論得到矩形DEFG與Rt△ABC重疊部分的面積s與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)QK經(jīng)過矩形DEFG的對(duì)稱中心O時(shí)，就可以把矩形DEFG分成面積相等的兩部分；易得∠GFD=∠B，可得DF∥AB，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理求出t值；
（4）由于當(dāng)DH∥AB，可知D、H的縱坐標(biāo)相等，依此可得關(guān)于t的方程，求出t值即可．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似形綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有矩形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與方程思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．