Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2﹣2x+3 的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，點D為拋物線的頂點．

（1）求A，B，C三點的坐標(biāo)．

（2）點M為線段AB上一點（點M不與點A，B重合），過點M作x軸的垂線，與直線AC交于點E，與拋物線交于點P，過點P作PQ∥AB交拋物線于點Q，過點Q作QN⊥x軸于點N．若點P在點Q左邊，當(dāng)矩形PMNQ的周長最大時，求△AEM的面積．

（3）在（2）的條件下，當(dāng)矩形PMNQ的周長最大時，連結(jié)DQ．過拋物線上一點F作y軸的平行線，與直線AC交于點G（點G在點F的上方）．若FG=2DQ，求點F的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）；（2）．（3）F（﹣4，﹣5）或（1，0）．

【解析】

試題分析：（1）通過解析式即可得出C點坐標(biāo)，令y=0，解方程得出方程的解，即可求得A、B的坐標(biāo)．

（2）設(shè)M點橫坐標(biāo)為m，則PM=﹣m2﹣2m+3，MN=（﹣m﹣1）×2=﹣2m﹣2，矩形PMNQ的周長=﹣2m2﹣8m+2，將﹣2m2﹣8m+2配方，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得出m的值，然后求得直線AC的解析式，把x=m代入可以求得三角形的邊長，從而求得三角形的面積，

（3）先確定出點D坐標(biāo)，進(jìn)而得出FG由FG=4建立方程求解即可．

試題解析：（1）由拋物線y=﹣x2﹣2x+3可知點C（0，3），

令y=0，則0=﹣x2﹣2x+3，

解得x=﹣3或x=1，

∴點A（﹣3，0），B（1，0）．

（2）由拋物線y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4可知，對稱軸為直線x=﹣1，

設(shè)點M的橫坐標(biāo)為m，則PM=﹣m2﹣2m+3，MN=（﹣m﹣1）×2=﹣2m﹣2，

∴矩形PMNQ的周長=2（PM+MN）=2（﹣m2﹣2m+3﹣2m﹣2）=﹣2m2﹣8m+2=﹣2（m+2）2+10，

∴當(dāng)m=﹣2時矩形的周長最大．

∵點A（﹣3，0），C（0，3），

∴直線AC的函數(shù)表達(dá)式為y=x+3，

當(dāng)x=﹣2時，y=﹣2+3=1，則點E（﹣2，1），

∴EM=1，AM=1，

∴S=AMEM=．

（3）∵點M的橫坐標(biāo)為﹣2，拋物線的對稱軸為x=﹣1，

∴點N應(yīng)與原點重合，點Q與點C重合，

∴DQ=DC，

把x=﹣1代入y=﹣x2﹣2x+3，得y=4，

∴點D（﹣1，4）．

∴DQ=DC

∵FG=2DQ，

∴FG=4，

設(shè)點F（n，﹣n2﹣2n+3），則點G（n，n+3），

∵點G在點F的上方，

∴（n+3）﹣（﹣n2﹣2n+3）=4，解得n=﹣4或n=1．

∴點F（﹣4，﹣5）或（1，0）．