如圖,點A在x軸負半軸上,點B、C分別在x軸、y軸的正半軸上且S△AOC:S△BOC=1:4,且OA、OB的長為關于x的方程x2-10x+m2=0的兩個根.
(1)求m的值.
(2)若AC⊥BC,求OC的長及AC所在直線的解析式.
(3)在(2)問的條件下,線段AC上是否存在點M,過M作x軸的平行線交y軸于點D,交BC點E,過E作EF∥AC交x軸于F,使S?AMEF=數(shù)學公式S△ABC?若存在直接寫出M的坐標,若不存在說明理由.

解:(1)∵S△AOC:S△BOC=1:4,
∴(×OA×OC):(×OB×OC)=1:4,
∴OA:OB=1:4,
設OA=a,則OB=4a,
∵OA、OB的長為關于x的方程x2-10x+m2=0的兩個根,
∴a+4a=10,
a=2,
即OA=2,OB=8,
故由根與系數(shù)的關系得:2×8=m2,
解得:m=±4;

(2)∵AC⊥BC,
∴∠ACB=∠AOC=90°,
∴∠CAO+∠ACO=90°,∠ACO+∠BCO=90°,
∴∠CAO=∠BCO,
∵∠AOC=∠BOC=90°,
∴△ACO∽△CBO,
=
∴CO2=OA×OB=2×8=16,
∴OC=4,
∵OA=2,
∴C(0,4),A(-2,0),
∴設直線AC的解析式是y=kx+4,
把A的坐標代入得:0=-2k+4,
k=2,
∴AC所在直線的解析式是y=2x+4;

(3)線段AC上不存在點M,過M作x軸的平行線交y軸于點D,交BC點E,過E作EF∥AC交x軸于F,使S?AMEF=S△ABC
理由是:∵M在直線AC上,直線AC的解析式是y=2x+4,
∴設M的坐標是(a,2a+4),
∵C(0,4)B(8,0),
∴設直線BC的解析式是y=dx+4,
∴把B的坐標代入得:0=8d+4,
d=-
∴直線BC的解析式是y=-x+4,
∵ME∥AB,EF∥AC,
∴四邊形AMEF是平行四邊形,M的縱坐標與E的縱坐標相等,是2a+4,
把y=2a+4代入y=-x+4得:x=-4a,
即E的坐標是(-4a,2a+4),
∴ME=AF=(-4a)-a=-5a,
假如存在點M,使S?AMEF=S△ABC,
則(-5a)•(2a+4)=××(2+8)×4,
2a2+4a+3=0,
判別式△=42-4×2×3<0,
即此方程無解,
故線段AC上不存在點M,過M作x軸的平行線交y軸于點D,交BC點E,過E作EF∥AC交x軸于F,使S?AMEF=S△ABC
分析:(1)根據(jù)面積個求出OA:OB=1:4,設OA=a,則OB=4a,由根與系數(shù)的關系求出a,再代入即可求出m;
(2)證△ACO∽△CBO,得出比例式,求出OC即可,根據(jù)A、C的坐標設直線AC的解析式是y=kx+4,把A的坐標代入求出即可;
(3)求出直線BC的解析式,設M的坐標是(a,2a+4),根據(jù)平行四邊形性質得出E的縱坐標與M的縱坐標相等,是2a+4,代入直線BC的解析式求出E的橫坐標,求出ME,即可得出平行四邊形AMEF的面積,假如存在得出方程,看看方程是否有解即可.
點評:本題考查了用待定系數(shù)法求出一次和的解析式,根的判別式,根與系數(shù)的關系,相似三角形的性質和判定,三角形的面積,解一元二次方程,平行四邊形的性質和判定等知識點的綜合運用,題目綜合性比較強,有一定的難度.
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如圖,點A為x軸負半軸上一點,點B為x軸正半軸上一點,OA,OB(OA<OB)的長分別是關精英家教網(wǎng)于x的一元二次方程x2-4mx+m2+2=0的兩根,C(0,3),且S△ABC=6
(1)求∠ABC的度數(shù);
(2)過點C作CD⊥AC交x軸于點D,求點D的坐標;
(3)在第(2)問的條件下,y軸上是否存在點P,使∠PBA=∠CAB?若存在,請直接寫出直線PD的解析式;若不存在,請說明理由.

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(1)求點C、點D的坐標;

(2)如圖②,若半徑為1的⊙P從點A出發(fā),沿A—B—D—C以每秒4個單位長的速度勻速移動,同時⊙P的半徑以每秒1個單位長的速度勻速增加,當運動到點C時運動停止,運動時間為t秒,試問在整個運動過程中⊙P與y軸有公共點的時間共有幾秒?

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