Question

如圖，點A在x軸負半軸上，點B、C分別在x軸、y軸的正半軸上且S_△AOC：S_△BOC=1：4，且OA、OB的長為關于x的方程x²-10x+m²=0的兩個根．
（1）求m的值．
（2）若AC⊥BC，求OC的長及AC所在直線的解析式．
（3）在（2）問的條件下，線段AC上是否存在點M，過M作x軸的平行線交y軸于點D，交BC點E，過E作EF∥AC交x軸于F，使S_?AMEF=S_△ABC？若存在直接寫出M的坐標，若不存在說明理由．

Answer 1

解：（1）∵S_△AOC：S_△BOC=1：4，
∴（×OA×OC）：（×OB×OC）=1：4，
∴OA：OB=1：4，
設OA=a，則OB=4a，
∵OA、OB的長為關于x的方程x²-10x+m²=0的兩個根，
∴a+4a=10，
a=2，
即OA=2，OB=8，
故由根與系數(shù)的關系得：2×8=m²，
解得：m=±4；

（2）∵AC⊥BC，
∴∠ACB=∠AOC=90°，
∴∠CAO+∠ACO=90°，∠ACO+∠BCO=90°，
∴∠CAO=∠BCO，
∵∠AOC=∠BOC=90°，
∴△ACO∽△CBO，
∴=，
∴CO²=OA×OB=2×8=16，
∴OC=4，
∵OA=2，
∴C（0，4），A（-2，0），
∴設直線AC的解析式是y=kx+4，
把A的坐標代入得：0=-2k+4，
k=2，
∴AC所在直線的解析式是y=2x+4；

（3）線段AC上不存在點M，過M作x軸的平行線交y軸于點D，交BC點E，過E作EF∥AC交x軸于F，使S_?AMEF=S_△ABC．
理由是：∵M在直線AC上，直線AC的解析式是y=2x+4，
∴設M的坐標是（a，2a+4），
∵C（0，4）B（8，0），
∴設直線BC的解析式是y=dx+4，
∴把B的坐標代入得：0=8d+4，
d=-，
∴直線BC的解析式是y=-x+4，
∵ME∥AB，EF∥AC，
∴四邊形AMEF是平行四邊形，M的縱坐標與E的縱坐標相等，是2a+4，
把y=2a+4代入y=-x+4得：x=-4a，
即E的坐標是（-4a，2a+4），
∴ME=AF=（-4a）-a=-5a，
假如存在點M，使S_?AMEF=S_{△ABC，}
則（-5a）•（2a+4）=××（2+8）×4，
2a²+4a+3=0，
判別式△=4²-4×2×3＜0，
即此方程無解，
故線段AC上不存在點M，過M作x軸的平行線交y軸于點D，交BC點E，過E作EF∥AC交x軸于F，使S_?AMEF=S_△ABC．
分析：（1）根據(jù)面積個求出OA：OB=1：4，設OA=a，則OB=4a，由根與系數(shù)的關系求出a，再代入即可求出m；
（2）證△ACO∽△CBO，得出比例式，求出OC即可，根據(jù)A、C的坐標設直線AC的解析式是y=kx+4，把A的坐標代入求出即可；
（3）求出直線BC的解析式，設M的坐標是（a，2a+4），根據(jù)平行四邊形性質得出E的縱坐標與M的縱坐標相等，是2a+4，代入直線BC的解析式求出E的橫坐標，求出ME，即可得出平行四邊形AMEF的面積，假如存在得出方程，看看方程是否有解即可．
點評：本題考查了用待定系數(shù)法求出一次和的解析式，根的判別式，根與系數(shù)的關系，相似三角形的性質和判定，三角形的面積，解一元二次方程，平行四邊形的性質和判定等知識點的綜合運用，題目綜合性比較強，有一定的難度．