Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，A、B分別為x、y軸正半軸上的點，以AB為邊作正方形ABCD，已知OA、OB是方程x²-3x+m=0的兩根，且滿足關(guān)系式OB=2OA．
（1）求D點的坐標(biāo)；
（2）如圖2，以A為圓心AB為半徑作⊙A，DE∥OB交⊙O于E，交x軸于F，連BE，求線段BE的長；
（3）如圖3，將線段AD繞著平面內(nèi)某一點旋轉(zhuǎn)180°，得A、D的對應(yīng)點分別為M、N（A對應(yīng)M，D對應(yīng)N），是否存在這樣的點M、N，使點M落在y軸上，而點N落在雙曲線y=-

4

x

（x＜0）上？若存在，求M、N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）利用根與系數(shù)的關(guān)系得出A，B的值，進(jìn)而得出△AOB≌△DHA（AAS），即可得出D點坐標(biāo)；
（2）由（1）中得A（1，0）、B（0，2）、D（3，1），進(jìn)而得出D，E關(guān)于x軸對稱，再由勾股定理求出BE的長；
（3）設(shè)線段AD繞P（x，y）旋轉(zhuǎn)180°，N（a，-

4

a

），根據(jù)中心對稱的性質(zhì)，可得P點橫坐標(biāo)為：

1

2

，進(jìn)而得出a的值，即可得出P點縱坐標(biāo)，即可得出M點坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)OA=x₁，OB=x₂
依題意得x₁+x₂=3；x₂=2x₁；
∴x₁=1，x₂=2
∴A（1，0），B（0，2）
過點D作DH⊥x軸于點H，
∵∠BAO+∠DAH=90°，∠OBA+∠BAO=90°，
∴∠OBA=∠DAH，
在△AOB和△DHA中

∠DHA=∠AOB ∠HAD=∠OBA AD=AB

∴△AOB≌△DHA（AAS），
∴DH=OA=1，AH=OB=2，
∴D（3，1）；

（2）由（1）中得A（1，0）、B（0，2）、D（3，1），
∵DE∥OB交⊙O于E，交x軸于F，
∴D，E關(guān)于x軸對稱，
∴E （3，-1）
根據(jù)勾股定理得：BE=

32+32

=3

2

；

（3）如圖3所示：
設(shè)線段AD繞P（x，y）旋轉(zhuǎn)180°，N（a，-

4

a

），
根據(jù)中心對稱的性質(zhì)，可得P點橫坐標(biāo)為：

1

2

，
∴-a+

1

2

=3-

1

2

，
解得：a=-2，
∴N點坐標(biāo)為：（-2，2），
∴P點縱坐標(biāo)為；2-（3-2）÷2=

3

2

，
∴M點坐標(biāo)為：（0，3）．

點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和勾股定理等知識，根據(jù)已知得出旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．