Question

1．已知菱形ABCD中，AC=6cm，BD=4cm．若以BD為邊作正方形BDEF，則AF=$\sqrt{5}$或$\sqrt{53}$cm．

Answer 1

分析 作出圖形，根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直平分求出AO、BO，然后分正方形在A、C的兩邊兩種情況延長(zhǎng)CA（或AC）交EF于點(diǎn)M（或點(diǎn)N），根據(jù)勾股定理求出AF的長(zhǎng)度即可得出結(jié)論．

解答 解：以BD為邊作正方形BDEF分兩種情況：
①如圖1，正方形BDEF在點(diǎn)A一側(cè)時(shí)，延長(zhǎng)CA交EF于點(diǎn)M．
∵四邊形ABCD為菱形，AC=6cm，BD=4cm，
∴OB=2cm，OA=3cm．
∵四邊形BDEF為正方形，
∴FM=BO=2cm，AM=DE-OA=1cm，
∴AF=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$cm；
②如圖2，正方形BDEF在點(diǎn)C一側(cè)時(shí)，延長(zhǎng)AC交EF于點(diǎn)N，
∵四邊形ABCD為菱形，AC=6cm，BD=4cm，
∴OB=2cm，OA=3cm．
∵四邊形BDEF為正方形，
∴FN=BO=2cm，AN=DE+OA=7cm，
∴AF=$\sqrt{{2}^{2}+{7}^{2}}$=$\sqrt{53}$cm．
故答案為：$\sqrt{5}$或$\sqrt{53}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了菱形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，主要利用了菱形的對(duì)角線互相垂直平分，難點(diǎn)在于分情況討論并作輔助線構(gòu)造出直角三角形，作出圖形更形象直觀．