Question

4．如圖，在邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD中，E是AB邊上一點(diǎn)，G是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BE=DG=1，連接EG，CF⊥EG交EG于點(diǎn)H，交AD于點(diǎn)F，則$\frac{FH}{CH}$=（　�。�

• A． 1：1
• B． 1：$\sqrt{2}$
• C． 1：$\sqrt{3}$
• D． 1：2

Answer 1

分析 由四邊形ABCD是正方形，得到∠B=∠ADC=∠BCD=∠CDG=90°，BC=CD，推出△BCE≌△CDG，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠1=∠2，CE=CG，證得△ECG是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到CH=EH=HG，通過△FGH∽△AGE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B=∠ADC=∠BCD=∠CDG=90°，BC=CD，
在△BCE與△CDG中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=CD}\\{∠B=∠CDG}\\{BE=DG}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△CDG，
∴∠1=∠2，CE=CG，
∴∠ECG=90°，
∴△ECG是等腰直角三角形，
∵CF⊥EG，
∴CH=EH=HG，
∵AB=AD=3，BE=CD=1，
∴AE=2，AG=4，
∵∠A=∠GHF=90°，∠FGH=∠AGE，
∴△FGH∽△AGE，
∴$\frac{FH}{CH}=\frac{AE}{AG}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{FH}{CH}$=$\frac{1}{2}$．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)．正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，連接CG構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．