【題目】正方形ABCD的邊長為6cm,點E,M分別是線段BD,AD上的動點,連接AE并延長,交邊BC于F,過M作MN⊥AF,垂足為H,交邊AB于點N.
(1)如圖①,若點M與點D重合,求證:AF=MN;
(2)如圖②,若點M從點D出發(fā),以1cm/s的速度沿DA向點A運動,同時點E從點B出發(fā),以cm/s的速度沿BD向點D運動,運動時間為ts.
①設(shè)BF=ycm,求y關(guān)于t的函數(shù)表達式;
②當BN=2AN時,連接FN,求FN的長.
【答案】見解析
【解析】試題分析:(1)根據(jù)四邊形的性質(zhì)得到AD=AB,∠BAD=90°,由垂直的定義得到∠AHM=90°,由余角的性質(zhì)得到∠BAF=∠AMH,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論;
(2)①根據(jù)勾股定理得到BD=6,由題意得,DM=t,BE=t,求得AM=6-t,DE=6-t,根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論;
②根據(jù)已知條件得到AN=2,BN=4,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到BF=,由①求得BF=,得方程=,于是得到結(jié)論.
試題解析:
(1)證明:∵四邊形ABCD為正方形,
∴AD=AB,∠DAN=∠FBA=90°.
∵MN⊥AF,
∴∠NAH+∠ANH=90°.
∵∠NDA+∠ANH=90°,
∴∠NAH=∠NDA,
∴△ABF≌△MAN,
∴AF=MN.
(2)①∵四邊形ABCD為正方形,
∴AD∥BF,
∴∠ADE=∠FBE.
∵∠AED=∠BEF,
∴△EBF∽△EDA,
∴=.
∵四邊形ABCD為正方形,
∴AD=DC=CB=6cm,
∴BD=6cm.
∵點E從點B出發(fā),以cm/s的速度沿BD向點D運動,運動時間為ts,
∴BE=tcm,DE=(6-t)cm,
∴=,
∴y=.
②∵四邊形ABCD為正方形,
∴∠MAN=∠FBA=90°.
∵MN⊥AF,
∴∠NAH+∠ANH=90°.
∵∠NMA+∠ANH=90°,
∴∠NAH=∠NMA.
∴△ABF∽△MAN,
∴=.
∵BN=2AN,AB=6cm,
∴AN=2cm.
∴=,
∴t=2,
∴BF==3(cm).
又∵BN=4cm,
∴FN==5(cm).
點睛: 本題主要考查正方形的性質(zhì)和相似三角形、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識點的綜合應(yīng)用.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB為直徑作半圓⊙O交AC于點D,點E為BC的中點,連接DE.
(1)求證:DE是半圓⊙O的切線;
(2)若∠BAC=30°,DE=2,求AD的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列各式;①(﹣2)0;②﹣22;③(﹣2)3 , 計算結(jié)果為負數(shù)的個數(shù)是( )個.
A.3
B.2
C.1
D.0
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,菱形AB1C1D1的邊長為1,∠B1=60°;作AD2⊥B1C1于點D2,以AD2為一邊,做第二個菱形AB2C2D2,使∠B2=60°;作AD3⊥B2C2于點D3,以AD3為一邊做第三個菱形AB3C3D3,使∠B3=60°…則AD2=_____,依此類推這樣做的第n個菱形ABnCnDn的邊ADn的長是_____.
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