Question

在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)D在CB的延長線上，且AE=BD，
（1）當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，如圖1，求證：EC=ED；
（2）當(dāng)點(diǎn)E不是AB的中點(diǎn)時(shí)，如圖2，過點(diǎn)E作EF∥BC，求證：△AEF是等邊三角形；
（3）在第（2）小題的條件下，EC與ED還相等嗎，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：等邊三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)等邊三角形三線合一的性質(zhì)可得∠ECB=30°，∠ABC=60°，根據(jù)AE=EB=BD，可得∠ECB=

1

2

∠ACB=30°，∠EDB=∠DEB=

1

2

∠ACB=30°，根據(jù)等角對等邊即可證得結(jié)論；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)證得∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠C=60°，即可證得結(jié)論；
（3）先求得BE=FC，然后證得△DBE≌△EFC即可；

解答：證明：（1）如圖1，在等邊△ABC中，AB=BC=AC，
∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，
∵AE=EB=BD，
∴∠ECB=

1

2

∠ACB=30°，∠EDB=∠DEB=

1

2

∠ACB=30°，
∴∠EDB=∠ECB，
∴EC=ED；

（2）如圖2，∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠C=60°，
∴△AEF為等邊三角形；

（3）EC=ED；
理由：∵∠AEF=∠ABC=60°，
∴∠EFC=∠DBE=120°，
∵AB=AC，AE=AF，
∴AB-AE=AC-AF，即BE=FC，
在△DBE和△EFC中，

DB=EF ∠DBE=∠EFC BE=FC

，
∴△DBE≌△EFC（SAS），
∴ED=EC．

點(diǎn)評：本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)和定理是解題的關(guān)鍵．