【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,以AC為一邊向外作等邊三角形ACD,點E為AB的中點,連結DE.
(1)證明DE∥CB;
(2)探索AC與AB滿足怎樣的數(shù)量關系時,四邊形DCBE是平行四邊形.
【答案】(1)首先連接CE,根據(jù)直角三角形的性質可得CE=AB=AE,再根據(jù)等邊三角形的性質可得AD=CD,然后證明△ADE≌△CDE,進而得到∠ADE=∠CDE=30°,再有∠DCB=150°可證明DE∥CB。
(2)當或AB=2AC時,四邊形DCBE是平行四邊形。
【解析】分析:(1)首先連接CE,根據(jù)直角三角形的性質可得CE=AB=AE,再根據(jù)等邊三角形的性質可得AD=CD,然后證明△ADE≌△CDE,進而得到∠ADE=∠CDE=30°,再有∠DCB=150°可證明DE∥CB。
(2)當或AB=2AC時,四邊形DCBE是平行四邊形。若四邊形DCBE是平行四邊形,則DC∥BE,∠DCB+∠B=180°進而得到∠B=30°,再根據(jù)三角函數(shù)可推出或AB=2AC。
解:(1)證明:連結CE,
∵點E為Rt△ACB的斜邊AB的中點,
∴CE=AB=AE。
∵△ACD是等邊三角形,∴AD=CD。
在△ADE與△CDE中,,
∴△ADE≌△CDE(SSS)。∴∠ADE=∠CDE=30°。
∵∠DCB=150°,∴∠EDC+∠DCB=180°。
∴DE∥CB。
(2)∵∠DCB=150°,若四邊形DCBE是平行四邊形,則DC∥BE,∠DCB+∠B=180°。
∴∠B=30°.
在Rt△ACB中,sinB=,即sin30°=,∴或AB=2AC。
∴當或AB=2AC時,四邊形DCBE是平行四邊形。
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【題目】如圖,已知函數(shù)(x>0)的圖象經(jīng)過點A,B,點A的坐標為(1,2).過點A作AC∥y軸,AC=1(點C位于點A的下方),過點C作CD∥x軸,與函數(shù)的圖象交于點D,過點B作BE⊥CD,垂足E在線段CD上,連接OC,OD.
(1)求△OCD的面積;
(2)當BE=AC時,求CE的長.
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【題目】如圖,一架長2.5m的梯子AB斜靠在墻AC上,∠C=90°,此時,梯子的底端B離墻底C的距離BC為0.7m.
(1)求此時梯子的頂端A距地面的高度AC;
(2)如果梯子的頂端A下滑了0.9m,那么梯子的頂端B在水平方向上向右滑動了多遠?
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【題目】定義:把一個半圓與拋物線的一部分組成的封閉圖形稱為“蛋圓”.
如圖,拋物線y=x2﹣2x﹣3與x軸交于點A,B,與y軸交于點D,以AB為直徑,在x軸上方作半圓交y軸于點C,半圓的圓心記為M,此時這個半圓與這條拋物線x軸下方部分組成的圖形就稱為“蛋圓”.
(1)直接寫出點A,B,C的坐標及“蛋圓”弦CD的長;
A , B , C , CD=;
(2)如果一條直線與“蛋圓”只有一個交點,那么這條直線叫做“蛋圓”的切線.
①求經(jīng)過點C的“蛋圓”切線的解析式;
②求經(jīng)過點D的“蛋圓”切線的解析式;
(3)由(2)求得過點D的“蛋圓”切線與x軸交點記為E,點F是“蛋圓”上一動點,試問是否存在S△CDE=S△CDF , 若存在請求出點F的坐標;若不存在,請說明理由;
(4)點P是“蛋圓”外一點,且滿足∠BPC=60°,當BP最大時,請直接寫出點P的坐標.
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【題目】閱讀下面一段:
計算
觀察發(fā)現(xiàn),上式從第二項起,每項都是它前面一項的倍,如果將上式各項都乘以,所得新算式中除個別項外,其余與原式中的項相同,于是兩式相減將使差易于計算.
解:設,①
則,②
②-①得,則.
上面計算用的方法稱為“錯位相減法”,如果一列數(shù),從第二項起每一項與前一項之比都相等(本例中是都等于),那么這列數(shù)的求和問題,均可用上述“錯位相減”法來解決.
下面請你觀察算式是否具備上述規(guī)律?若是,請你嘗試用“錯位相減”法計算上式的結果.
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【題目】如圖,在ABCD中,E是AD上一點,延長CE到點F,使∠FBC=∠DCE.
(1)求證:∠D=∠F;
(2)用直尺和圓規(guī)在AD上作出一點P,使△BPC∽△CDP(保留作圖的痕跡,不寫作法).
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【題目】圖中是拋物線拱橋,P處有一照明燈,水面OA寬4m,從O、A兩處觀測P處,仰角分別為α、β,且tanα= ,tan ,以O為原點,OA所在直線為x軸建立直角坐標系.
(1)求點P的坐標;
(2)水面上升1m,水面寬多少( 取1.41,結果精確到0.1m)?
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【題目】某體育老師對自己任教的55名男生進行一百米摸底測試,若規(guī)定男生成績?yōu)?6秒合格,下表是隨機抽取的10名男生分A、B兩組測試的成績與合格標準的差值(比合格標準多的秒數(shù)為正,少的秒數(shù)為負).
A 組 | ﹣1.5 | +1.5 | ﹣1 | ﹣2 | ﹣2 |
B組 | +1 | +3 | ﹣3 | +2 | ﹣3 |
(1)請你估算從55名男生中合格的人數(shù)大約是多少?
(2)通過相關的計算,說明哪個組的成績比較均勻;
(3)至少舉出三條理由說明A組成績好于B組成績,或找出一條理由來說明B組好于A組.
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