Question

如圖所示：兩個(gè)同心圓，半徑分別是2

6

與4

3

，矩形ABCD邊AB，CD分別為兩圓的弦，當(dāng)矩形ABCD面積取最大值時(shí)，矩形ABCD的周長(zhǎng)是（　�。�

• A、22+6

  2

• B、20+8

  2

• C、18+10

  2

• D、16+12

  2

Answer 1

考點(diǎn)：垂徑定理,矩形的性質(zhì)

專題：

分析：此題首先能夠把問(wèn)題轉(zhuǎn)化到三角形中進(jìn)行分析．根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念可以證明三角形的面積等于相鄰兩邊的乘積乘以?shī)A角的正弦值，根據(jù)這一公式分析面積的最大值的情況．然后運(yùn)用勾股定理以及直角三角形的斜邊上的高等于兩條直角邊的乘積除以斜邊求得長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，進(jìn)一步求得其周長(zhǎng)

解答：解：連接OA，OD，作OP⊥AB于P，OM⊥AD于M，ON⊥CD于N．
根據(jù)矩形的面積以及三角形的面積公式發(fā)現(xiàn)：矩形的面積是三角形AOD的面積的4倍．
因?yàn)镺A，OD的長(zhǎng)是定值，則∠AOD的正弦值最大時(shí)，三角形的面積最大，
即∠AOD=90°，則AD=6

2

，
根據(jù)三角形的面積公式求得OM=4，即AB=8．
則矩形ABCD的周長(zhǎng)是16+12

2

，
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是矩形的定理以及垂徑的性質(zhì)，考生應(yīng)注意運(yùn)用勾股定理來(lái)求得邊長(zhǎng)繼而才能求出周長(zhǎng)．