Question

（10分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC：BC＝4：3，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿B→C→A方向向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s，當(dāng)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．

（1）求AC、BC的長(zhǎng)；

（2）設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（秒），△PBQ的面積為y（cm2），當(dāng)△PBQ存在時(shí)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（3）當(dāng)點(diǎn)Q在CA上運(yùn)動(dòng)，使PQ⊥AB時(shí)，以點(diǎn)B、P、Q為定點(diǎn)的三角形與△ABC是否相似，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（4）當(dāng)x=5秒時(shí)，在直線PQ上是否存在一點(diǎn)M，使△BCM得周長(zhǎng)最小，若存在，求出最小周長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

（1）AC=8cm BC=6cm （2）y= （3）見解析 （4）16

【解析】

試題分析：（1）設(shè)AC=4x，BC=3x，根據(jù)勾股定理進(jìn)行求解；（2）分兩種情況來(lái)進(jìn)行討論，分別求出函數(shù)解析式；（3）利用三角形相似的條件來(lái)進(jìn)行計(jì)算；（4）利用軸對(duì)稱的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算.

試題解析：（1）設(shè)AC=4x，BC=3x，在Rt△ABC中，AC²+BC²=AB²，即：（4x）²+（3x）²=10²，

解得：x=2，∴AC=8cm，BC=6cm；

（2）①、∵△QHB∽△ACB， ∴，

∴QH=x，y=BP·QH=（10-x）·x=-x²+8x（0＜x≤3），

②當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q作QH′⊥AB于H′，∵AP=x，∴BP=10-x，AQ=14-2x，∵△AQH′∽△ABC， ∴，即：，解得：QH′=（14-x），

∴y=PB·QH′=（10-x）·（14-x）=x²-x+42（3＜x＜7）；

∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=；

（3）∵AP=x，AQ=14-x， ∵PQ⊥AB，∴△APQ∽△ACB，∴，

即：，解得：x=，PQ=，∴PB=10-x=，∴，

∴當(dāng)點(diǎn)Q在CA上運(yùn)動(dòng)，使PQ⊥AB時(shí)，以點(diǎn)B、P、Q為定點(diǎn)的三角形與△ABC不相似；

（4）存在，理由：∵AQ=14-2x=14-10=4，AP=x=5，∵AC=8，AB=10，∴PQ是△ABC的中位線，

∴PQ∥AB，∴PQ⊥AC， ∴PQ是AC的垂直平分線，∴PC=AP=5，∴當(dāng)點(diǎn)M與P重合時(shí)，△BCM的周長(zhǎng)最小， ∴△BCM的周長(zhǎng)為：MB+BC+MC=PB+BC+PC=5+6+5=16，

∴△BCM的周長(zhǎng)最小值為16。

考點(diǎn)：三角形相似的應(yīng)用、勾股定理、二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用