已知拋物線y=x2+4x+m(m為常數)經過點(0,4)
(1)求m的值;
(2)將該拋物線先向右、再向下平移得到另一條拋物線.已知這條平移后的拋物線滿足下述兩個條件:它的對稱軸(設為直線l2)與平移前的拋物線的對稱軸(設為l1)關于y軸對稱;它所對應的函數的最小值為-8.
①試求平移后的拋物線所對應的函數關系式;
②試問在平移后的拋物線上是否存在著點P,使得以3為半徑的⊙P既與x軸相切,又與直線l2相交?若存在,請求出點P的坐標,并求出直線l2被⊙P所截得的弦AB的長度;若不存在,請說明理由.
【答案】
分析:(1)將(0,4)代入拋物線,得:0
2+4×0+m=4,解得m=4;
(2)①根據(1)求出的拋物線,可知其對稱軸,平移后的拋物線的對稱軸與平移前的對稱軸關于y軸對稱,即可求出新拋物線對稱軸,再根據第二個條件,最小值為-8,即可求出平移后的拋物線的關系式;
②該題需要分情況討論,假設p點存在,且p在x軸上方,根據題意可知,p的縱坐標是3,代入關系式求解,求出p點坐標,在驗證該點是否在直線上;若p在y軸下方,則p的縱坐標是-3,代入關系式,求出坐標,再進行檢驗.
解答:解:(1)依題意得:0
2+4×0+m=4,解得m=4(3分)
(2)①由(1)得:y=x
2+4x+4=(x+2)
2,
∴對稱軸為直線l
1:x=-2(4分)
依題意得平移后的拋物線的對稱軸為直線l
2:x=2(5分)
故設平移后的拋物線所對應的函數關系式為y=(x-2)
2+k(6分)
∵此函數最小值為-8,
∴k=-8
即平移后的拋物線所對應的函數關系式為y=(x-2)
2-8=x
2-4x-4(7分)
②存在.理由如下:
由①知平移后的拋物線的對稱軸為直線l
2:x=2
當點P在x軸上方時,∵⊙P與x軸相切,
∴令y=x
2-4x-4=3,
解得x=2±
(8分)
∵此時點P
1(2+
,3),P
2(2-
,3)與直線x=2之距均為
,
∴點P
1、P
2不合題意,應舍去.(9分)
當點P在x軸下方時,
∵⊙P與x軸相切,
∴令y=x
2-4x-4=-3,
解得x=2±
(10分)
此時點P
3(2+
,-3),P
4(2-
,-3)與直線x=2之距均為
,
∵
<3,⊙P
3、⊙P
4均與直線l
2:x=2相交,
∴點P
3、P
4符合題意.(11分)
此時弦AB=2×
綜上,點P的坐標為(2+
,-3)或(2-
,-3),
直線l
2被⊙P所截得的弦AB的長為4.(13分)
點評:再熟練掌握二次函數的解析式和圖象之間的關系下,掌握平移引起的對稱軸的變化;該題綜合性開放性很強,二次函數圖象與圓相切,以及與一次函數的交點等等問題,是綜合型的函數題中常見的問題.