Question

【題目】在△DEF中，DE＝DF，點(diǎn)B在EF邊上，且∠EBD＝60°，C是射線(xiàn)BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B重合，且BC≠BE)，在射線(xiàn)BE上截取BA＝BC，連接AC．

（1）當(dāng)點(diǎn)C在線(xiàn)段BD上時(shí)，

①若點(diǎn)C與點(diǎn)D重合，請(qǐng)根據(jù)題意補(bǔ)全圖1，并直接寫(xiě)出線(xiàn)段AE與BF的數(shù)量關(guān)系為________；

②如圖2，若點(diǎn)C不與點(diǎn)D重合，請(qǐng)證明AE＝BF＋CD；

（2）當(dāng)點(diǎn)C在線(xiàn)段BD的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，用等式表示線(xiàn)段AE，BF，CD之間的數(shù)量關(guān)系，不用證明．

Answer 1

【答案】（1）①圖見(jiàn)解析；②證明見(jiàn)解析；（2）AE＝BF－CD（或AE＝CD－BF.）

【解析】

試題

（1）①按要求補(bǔ)全圖形如圖3，由已知條件易證△ABD是等邊三角形，再證△DBE≌△DAF，可得BE=AF，從而可得AE=BF；②如圖2，在BE上截取BG＝BD，連接DG，易證△GBD、△ABC都是等邊三角形，再證△DGE≌△DBF即可得到所求結(jié)論；

（2）如圖5、圖6，當(dāng)點(diǎn)C在BD延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，需分點(diǎn)A在線(xiàn)段BE上和線(xiàn)段BE的延長(zhǎng)線(xiàn)上兩種情況分析討論，由已知條件易證△CAB和△DGB都是等邊三角形，由此易得DC=AG；再證△DGE≌△DBF可得DG=BF，即可得到DC、AE、BF間的數(shù)量關(guān)系.

（1）①補(bǔ)全圖形如圖3所示：

∵BA=BC，∠EBD=60°，

∴△ABD為等邊三角形，

∴∠DAB=∠DBA=60°，DB=DA，

∵DE=DF，

∴∠E=∠F，

∴△DBE≌△DAF，

∴BE=AF，

∴BE-AB=AF-AB，即AE＝BF；

②如圖4，在BE上截取BG＝BD，連接DG

∵∠EBD＝60°，BG＝BD，

∴△GBD是等邊三角形．

同理，△ABC也是等邊三角形．

∴AG＝CD.∵DE＝DF，

∴∠E＝∠F.

又∵∠DGB＝∠DBG＝60°，

∴∠DGE＝∠DBF＝120°.

∴△DGE≌△DBF，

∴GE＝BF，

∴AE＝BF＋CD.

（2）如圖5、圖6，當(dāng)點(diǎn)C在BD延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，需分點(diǎn)A在線(xiàn)段BE上和線(xiàn)段BE的延長(zhǎng)線(xiàn)上兩種情況分析討論，

①當(dāng)點(diǎn)A在線(xiàn)段BE上時(shí)，在線(xiàn)段BE上截取BG=BD，連接DG，

∵∠DBE=60°，BA=BC，BG=BD，

∴△CBA、△DBG都是等邊三角形，BA-BG=BC-BD，

∴∠DGB=∠DBG=60°，AG=CD，

∴∠DGE=∠DBF，

∵DE=DF，

∴∠E=∠F，

∴△DGE≌△DBF，

∴GE=BF，

∴AE=GE-AG=BF-CD；

②同理，如圖6，可得AE=CD-BF；

綜上所述，當(dāng)點(diǎn)C在線(xiàn)段BD的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，AE＝BF－CD（或AE＝CD－BF）.