Question

【題目】閱讀下列材料解決問題：
材料：古希臘著名數(shù)學(xué)家 畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)把數(shù)1，3，6，10，15，21…這些數(shù)量的（石子），都可以排成三角形，則稱像這樣的數(shù)為三角形數(shù)．
把數(shù) 1，3，6，10，15，21…換一種方式排列，即
1=1
1+2=3
1+2+3=6
1+2+3+4=10
1+2+3+4+5=15
…
從上面的排列方式看，把1，3，6，10，15，…叫做三角形數(shù)“名副其實(shí)”．
（1）設(shè)第一個(gè)三角形數(shù)為a1=1，第二個(gè)三角形數(shù)為a2=3，第三個(gè)三角形數(shù)為a3=6，請(qǐng)直接寫出第n個(gè)三角形數(shù)為an的表達(dá)式（其中n為正整數(shù)）．
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論判斷66是三角形數(shù)嗎？若是請(qǐng)說出66是第幾個(gè)三角形數(shù)？若不是請(qǐng)說明理由．
（3）根據(jù)（1）的結(jié)論判斷所有三角形數(shù)的倒數(shù)之和T與2的大小關(guān)系并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：根據(jù)題意得：an= （n為正整數(shù)）；
（2）解： 66是三角形數(shù)，理由如下：

當(dāng) =66時(shí)，解得：n=11或n=﹣12（舍去），

則66是第11個(gè)三角形數(shù)

（3）T= + + + +…+ = + + + +…+ =2（1﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）= ，

∵n為正整數(shù)，∴0＜ ＜1，

則T＜2

【解析】（1）列出部分an的值，根據(jù)an的變化找出規(guī)律an=,（n為正整數(shù)）；(2)66是三角形數(shù)，理由如下,結(jié)合（1）結(jié)論得=66解關(guān)于n的方程，即可得出n的值，從而得出結(jié)論；（3）將分?jǐn)?shù)變形成兩個(gè)分?jǐn)?shù)相減的形式，求出T的值再與2進(jìn)行比較即可。
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用數(shù)與式的規(guī)律的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握先從圖形上尋找規(guī)律，然后驗(yàn)證規(guī)律，應(yīng)用規(guī)律，即數(shù)形結(jié)合尋找規(guī)律．