Question

【題目】如圖，已知 為 上的一點，按下列要求進行作圖．

（1）作 的平分線 .
（2）在 上取一點 ，使得 .
（3）愛動腦筋的小剛經(jīng)過仔細觀察后，進行如下操作：在邊 上取一點 ，使得 ，這時他發(fā)現(xiàn) 與 之間存在一定的數(shù)量關系，請寫出 與 的數(shù)量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖，OC即為所求；
（2）解：如圖，OP=a

（3）解：∠OEP=∠ODP或∠OEP+∠ODP=180°． 理由是：以O為圓心，以OD為半徑作弧，交OA于E2 ， 連接PE2 ， 作PM⊥OA于M， PN⊥OB于N，則PM=PN． 在△E2PM和△DPN中， ， ∴△E2PM≌△DPN（HL）， ∴∠OE2P=∠ODP； 以P為圓心，以PD為半徑作弧，交OA于另一點E1 ， 連接PE1 ， 則此點E1也符合條件PD=PE1 ，

∵PE2=PE1=PD， ∴∠PE2E1=∠PE1E2 ， ∵∠OE1P+∠E2E1P=180°， ∵∠OE2P=∠ODP， ∴∠OE1P+∠ODP=180°， ∴∠OEP與∠ODP所有可能的數(shù)量關系是：∠OEP=∠ODP或∠OEP+∠ODP=180°
【解析】（1）利用尺規(guī)作圖按要求畫出圖形即可。
（2）在 OC 上取一點 P ，使得 OP=a 即可。
（3）以O為圓心，以OD為半徑作弧，交OA于E2，連接PE2，作PM⊥OA于M， PN⊥OB于N，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出PM=PN，再證明△E2PM≌△DPN，得出∠OE2P=∠ODP，再根據(jù)角平分線的定義即可得出 ∠OEP 與 ∠ODP 的數(shù)量關系。