Question

已知：⊙O₁與⊙O₂外切于點(diǎn)P，過點(diǎn)P的直線分別交⊙O₁、⊙O₂于點(diǎn)B、A，⊙O₁的切線BN交⊙O₂于點(diǎn)M、N，AC為⊙O₂的弦．
（1）如圖（1），設(shè)弦AC交BN于點(diǎn)D，求證：AP•AB=AC•AD；
（2）如圖（2），當(dāng)弦AC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，弦AC的延長線交直線BN于點(diǎn)D時(shí)，試問：AP•AB=AC•AD是否仍然成立？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）過點(diǎn)P作兩圓的切線EF，連接CP并延長交⊙O₁于點(diǎn)G，連接BG．根據(jù)弦切角定理可以證明∠C=∠B，從而證明△APC∽△ADB，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可證明；
（2）過點(diǎn)P作兩圓的切線EF，連接NP并延長交⊙O₁于點(diǎn)G，連接BG．根據(jù)弦切角定理和三角形的外角的性質(zhì)證明∠APC=∠D，從而根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等得到△APC∽△ADB，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可證明．

解答：
解：（1）過點(diǎn)P作兩圓的切線EF，連接CP并延長交⊙O₁于點(diǎn)G，連接BG．
∴∠1=∠C，∠2=∠G．
∵⊙O₁的切線BN交⊙O₂于點(diǎn)M、N，
∴∠3=∠G．
又∠1=∠2，
∴∠C=∠3．
又∠CAP=∠BAD，
∴△APC∽△ADB．
∴

AP

AD

=

AC

AB

，
即AP•AB=AC•AD．

（2）過點(diǎn)P作兩圓的切線EF，連接NP并延長交⊙O₁于點(diǎn)G，連接BG．連接CP，
則∠APF=∠BPE=∠PBN=∠D+∠A，∠CPF=∠A，
則∠APC=∠D．
又∠PAC=∠DAB，
∴△APC∽△ADB．
∴

AP

AD

=

AC

AB

，
即AP•AB=AC•AD．

點(diǎn)評(píng)：作兩圓的公切線是相切兩圓中常見的輔助線之一．熟練運(yùn)用弦切角定理、相似三角形的判定和性質(zhì)．