Question

如圖，以點G（4，0）為圓心，2為半徑的圓與x軸交于A、B兩點，已知拋物線y=-

1

6

x²+bx+c過點A和點B，與y軸交于點C．
（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求出點C的坐標(biāo)，并在圖中畫出此拋物線的大致圖象；
（3）點F（8，m）在拋物線y=-

1

6

x²+bx+c上，點P為此拋物線對稱軸上一個動點，求PF+PB的最小值；
（4）OE是⊙G的切線，點E是切點，在拋物線上是否存在一點Q，使△COQ的面積等于△COE的面積？若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)以點G（4，0）為圓心，2為半徑的圓與x軸交于A、B兩點，求得點A的坐標(biāo)為（2，0），點B的坐標(biāo)為（6，0），然后代入拋物線y=-

1

6

x²+bx+c求得函數(shù)的解析式即可；
（2）首先求得拋物線與y軸的交點點C的坐標(biāo)，然后將y=-

1

6

x²+

4

3

x-2配方成y=

1

6

（x-4）²+

2

3

的形式，從而求得頂點坐標(biāo)，即可作出函數(shù)的圖象；
（3）根據(jù)F（8，m）在拋物線y=-

1

6

x²+

4

3

x-2上，求得點F的坐標(biāo)，連接AF，則與拋物線的對稱軸的交點為點P，此時PF+PB的最小，然后利用勾股定理求得AF的長即為最小值；
（4）連接EG，根據(jù)OE是⊙G的切線，得到∠OEG=90°，然后利用勾股定理求得OE的長即可，進而得出E點坐標(biāo)，求出即可．

解答：解：（1）∵以點G（4，0）為圓心，2為半徑的圓與x軸交于A、B兩點，
點A的坐標(biāo)為（2，0），點B的坐標(biāo)為（6，0），
∵拋物線y=-

1

6

x²+bx+c過點A和點B，
∴

- 1 6 ×22+2b+c=0 - 1 6 ×62+6b+c=0

，
解得：

b= 4 3 c=-2

，
∴此拋物線的函數(shù)關(guān)系式為：y=-

1

6

x²+

4

3

x-2；

（2）∵C點為拋物線與y軸的交點，
∴當(dāng)x=0時，y=-2，
∴點C的坐標(biāo)為（0，-2）；
∵y=-

1

6

x²+

4

3

x-2=-

1

6

（x²-8x）-2=-

1

6

（x-4）²+

2

3

，
∴此拋物線的頂點坐標(biāo)為（4，

2

3

），如圖：

（3）∵點F（8，m）在拋物線y=-

1

6

x²+

4

3

x-2上，
∴點F的坐標(biāo)為（8，-2），
連接AF，則與拋物線的對稱軸的交點為點P，此時PF+PB的最小，
∴PA=PB，
∴PF+PB=PA+PF=AF=

(8-2)2+22

=2

10

；
∴PF+PB的最小值為2

10

；

（4）連接EG，作ER⊥OB，ET⊥y軸，
∴EG=2，
∵OE是⊙G的切線，
∴∠OEG=90°，
∴OE=2

3

．
∵EG=2，OG=4，
∴∠EOG=30°，
∴∠EGO=90°-∠EOG=90°-30°=60°，
∴RG=1，
∴ER=

3

，OR=3，
∴ET=3，
∴△COE的面積為：

1

2

×2×3=3，
∴△COQ的面積為3，
當(dāng)Q點橫坐標(biāo)為3時，
y=-

1

6

x²+

4

3

x-2=

1

2

；
∴Q點的坐標(biāo)為：（3，

1

2

），
當(dāng)Q點橫坐標(biāo)為-3時，
y=-

1

6

x²+

4

3

x-2；
y=-

15

2

，
∴Q點的坐標(biāo)為：（-3，-

15

2

），
∴點Q的坐標(biāo)為：（-3，-

15

2

），（3，

1

2

）．

點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合知識，特別是題目中與幾何知識結(jié)合起來，更是中考中的常見考題．