Question

如圖，E是正方形ABCD的邊AB上的動點，EF⊥DE交BC于點F，
（1）求證：△ADE∽△BEF；
（2）設(shè)正方形的邊長為8，AE=x，BF=y，請解決下列問題：
①求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
②在AB邊上是否存在點E，使得BF=3？若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）證明∠A=∠B，∠ADE=∠BEF，即可解決問題．
（2）證明AD=8，BE=8-x；由△ADE∽△BEF，得到AD：BE=AE：BF，化簡、整理即可解決問題．
（3）由題意得到x²-8x+24=0，證明該方程的判別式△＜0，即可解決問題．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠A=∠B=90°；
又∵EF⊥DE，
∴∠ADE+∠AED=∠AED+∠BEF，
∴∠ADE=∠BEF，而∠A=∠B，
∴△ADE∽△BEF．
（2）①∵正方形的邊長為8，AE=x，
∴AD=8，BE=8-x；
∵△ADE∽△BEF，
∴AD：BE=AE：BF，
∴BF=-

1

8

x2+x，
即y=-

1

8

x2+x．
（3）若BF=3，則-

1

8

x2+x=3，
即x²-8x+24=0，
∵判別式△=64-4×24＜0，
∴該方程無解，
故這樣的點E不存在．

點評：該題以正方形為載體，以正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定及其性質(zhì)等為考查的核心構(gòu)造而成；靈活運用有關(guān)定理來解題是關(guān)鍵．