Question

如圖，點A在y軸上，點B在x軸上，以AB為邊作正方形ABCD，P為正方形ABCD的對稱中心，正方形ABCD的邊長為

10

，tan∠ABO=3．
（1）分別寫出A，C，P三點的坐標(biāo)．
（2）經(jīng)過坐標(biāo)原點O且頂點為P的拋物線是否經(jīng)過C點，請說明理由．

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì),二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征,全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）如圖，作輔助線；求出AO、BO的長度；證明△ABO≌△BCQ，得到BQ=AO=3，CQ=BO=1，即可解決問題．
（2）求出拋物線解析式，檢驗該拋物線是否經(jīng)過點C，即可解決問題．

解答：解：（1）如圖，連接AC；過點C作CQ⊥x軸于點Q；
∵tan∠ABO=3，
∴AO：BO=1：3，設(shè)AO=3λ，
則BO=λ；而AB=

10

，∠AOB=90°，
∴9λ²+λ²=10，
解得：λ=1，AO=3，BO=1；
∵ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°；
∵∠AOB=∠BQC=90°，
∴∠OAB+∠ABO=∠ABO+∠CBQ，
∴∠OAB=∠CBQ；
在△ABO與△BCQ中，

∠OAB=∠CBQ ∠AOB=∠BQC AB=BC

，
∴△ABO≌△BCQ（AAS），
∴BQ=AO=3，CQ=BO=1；
∴OQ=4；A（0，3）、C（4，1）；
設(shè)P（m，n）．
∵P為線段AC的中點，
∴m=

0+4

2

=2，n=

3+1

2

=2，
∴P（2，2）；
∴A，C，P三點的坐標(biāo)分別為（0，3）、（4，1）、（2，2）．
（2）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）²+2，
由題意得：4a+2=0，
解得：a=-

1

2

，
∴y=-

1

2

(x-2)2+2；
∵當(dāng)x=4時，y=0，
∴該拋物線不經(jīng)過點C（4，1）．

點評：該題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定、拋物線上點的坐標(biāo)特征等知識點及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形．