【題目】閱讀理解:運(yùn)用“同一圖形的面積相等”可以證明一些含有線段的等式成立,這種解決問題的方法我們稱之為面積法. 如圖1,在等腰△ABC中,AB=AC, AC邊上的高為h,點(diǎn)M為底邊BC上的任意一點(diǎn),點(diǎn)M到腰AB、AC的距離分別為h1、h2,連接AM,利用S△ABC=S△ABM+S△ACM,可以得出結(jié)論:h= h1+h2.
類比探究:在圖1中,當(dāng)點(diǎn)M在BC的延長線上時,猜想h、h1、h2之間的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論.
拓展應(yīng)用:如圖2,在平面直角坐標(biāo)系中,有兩條直線l1:y =x+3,l2:y =-3x+3,若l2上一點(diǎn)M到l1的距離是1,試運(yùn)用 “閱讀理解”和“類比探究”中獲得的結(jié)論,求出點(diǎn)M的坐標(biāo).
【答案】(1)h = h1-h2(2)(,2)或(-,4)
【解析】試題分析:(1)連接AM,△ABC被分成△ABM和△ACM兩個三角形,根據(jù)三角形的面積公式分別求解,再根據(jù)S△ABC=S△ABM+S△AMC整理即可得到h1+h2=h.
(2)先根據(jù)直線關(guān)系式求出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)利用勾股定理求出AB=AC,所以△ABC是等腰三角形,再分點(diǎn)M在線段BC上和CB的延長線上兩種情況討論求解.
試題解析:
(1)h = h1-h2.
證明:連接OA,
∵S△ABC =AC·BD=AC·h,
S△ABM =AB·ME = AB·h1,
S△ACM=AC·MF =AC·h2,.
又∵S△ABC=S△ABM-S△ACM,
∴AC·h =AB·h1-AC·h2.
∵AB=AC,∴h = h1-h2.
(2)在y =x+3中,令x=0得y=3;令y=0得x=-4,則:
A(-4,0),B(0,3) , 同理求得C(1,0),
OA=4,OB=3, AC=5,
AB==5,所以AB=AC,
即△ABC為等腰三角形.
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),
①當(dāng)點(diǎn)M在BC邊上時,由h1+h2=h得:
OB = 1+y,y =3-1=2,把它代入y=-3x+3中求得:x=,
∴M(,2)
②當(dāng)點(diǎn)M在CB延長線上時,由h1-h2=span>h得:
OB = y-1,y =3+1=4,把它代入y=-3x+3中求得:x=-,
∴M(-,4).
綜上所述點(diǎn)M的坐標(biāo)為(,2)或(-,4).
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