【題目】在銳角△ABC中,AB=4,BC=5,∠ACB=45°,將△ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn),得到△A1BC1.
(1)如圖1,當點C1在線段CA的延長線上時,求∠CC1A1的度數(shù);
(2)如圖2,連接AA1,CC1.若△ABA1的面積為4,求△CBC1的面積;
(3)如圖3,點E為線段AB中點,點P是線段AC上的動點,在△ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)過程中,點P的對應點是點P1,求線段EP1長度的最大值與最小值.
【答案】(1)∠CC1A1=90°.
(2)S△CBC1=.
(3)最小值為:EP1=﹣2.
最大值為:EP1= 7.
【解析】
(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得:∠A1C1B=∠ACB=45°,BC=BC1,又由等腰三角形的性質(zhì),即可求得∠CC1A1的度數(shù).
(2)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得:△ABC≌△A1BC1,易證得△ABA1∽△CBC1,利用相似三角形的面積比等于相似比的平方,即可求得△CBC1的面積.
(3)由①當P在AC上運動至垂足點D,△ABC繞點B旋轉(zhuǎn),使點P的對應點P1在線段AB上時,EP1最;②當P在AC上運動至點C,△ABC繞點B旋轉(zhuǎn),使點P的對應點P1在線段AB的延長線上時,EP1最大,即可求得線段EP1長度的最大值與最小值.
解:(1)∵由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得:∠A1C1B=∠ACB=45°,BC=BC1,
∴∠CC1B=∠C1CB=45°.
∴∠CC1A1=∠CC1B+∠A1C1B=45°+45°=90°.
(2)∵由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得:△ABC≌△A1BC1,
∴BA=BA1,BC=BC1,∠ABC=∠A1BC1.
∴,∠ABC+∠ABC1=∠A1BC1+∠ABC1
∴∠ABA1=∠CBC1.
∴△ABA1∽△CBC1
∴.
∵S△ABA1=4,∴S△CBC1=.
(3)過點B作BD⊥AC,D為垂足,
∵△ABC為銳角三角形,∴點D在線段AC上.
在Rt△BCD中,BD=BC×sin45°=.
①如圖1,當P在AC上運動至垂足點D,△ABC繞點B旋轉(zhuǎn),使點P的對應點P1在線段AB上時,EP1最小.最小值為:EP1=BP1﹣BE=BD﹣BE=﹣2.
②如圖2,當P在AC上運動至點C,△ABC繞點B旋轉(zhuǎn),使點P的對應點P1在線段AB的延長線上時,EP1最大.最大值為:EP1=BC+BE=5+2=7.
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【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+2與x軸交于A(﹣1,0),B(4,0)兩點,與y軸交于點C.
(1)求a,b的值
(2)若點D是拋物線上的一點,且位于直線BC上方,連接CD,BD,AC.當四邊形ABDC的面積有最大值時,求點D的坐標.
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【題目】2016年3月國際風箏節(jié)期間,王大伯決定銷售一批風箏,經(jīng)市場調(diào)研:蝙蝠型風箏進價每個為10元,當售價每個為12元時,銷售量為180個,若售價每提高1元,銷售量就會減少10個,請回答以下問題:
(1)用表達式表示蝙蝠型風箏銷售量y(個)與售價x(元)之間的函數(shù)關(guān)系(12≤x≤30);
(2)王大伯為了讓利給顧客,并同時獲得840元利潤,售價應定為多少?
(3)當售價定為多少時,王大伯獲得利潤W最大,最大利潤是多少?
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【題目】已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點(,)和(,),完成下面問題:
(1)求函數(shù)的表達式;
(2)在給出的平面直角坐標系中,請用適當?shù)姆椒ó嫵鲞@個函數(shù)的圖象,并寫出這個函數(shù)的一條性質(zhì);
(3)已知函數(shù)的圖象如圖所示,結(jié)合你所畫出的圖象,直接寫出的解集.
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【題目】如圖,點A1的坐標為(1,0),A2在y軸的正半軸上,且∠A1A2O=30°,過點A2作A2A3⊥A1A2,垂足為A2,交x軸于點A3,過點A3作A3A4⊥A2A3,垂足為A3,交y軸于點A4;過點A4作A4A5⊥A3A4,垂足為A4,交x軸于點A5;過點A5作A5A6⊥A4A5,垂足為A5,交y軸于點A6;…按此規(guī)律進行下去,則點A2020的橫坐標為_____.
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【題目】下面是小東設(shè)計的“過直線外一點作這條直線的平行線”的尺規(guī)作圖過程.
已知:直線l及直線l外一點P.
求作:直線,使得.
作法:如圖,
①任意取一點K,使點K和點P在直線l的兩旁;
②以P為圓心,長為半徑畫弧,交l于點,連接;
③分別以點為圓心,以長為半徑畫弧,兩弧相交于點Q(點Q和點A在直線的兩旁);
④作直線.
所以直線就是所求作的直線.
根據(jù)小東設(shè)計的尺規(guī)作圖過程,
(1)使用直尺和圓規(guī),補全圖形;(保留作圖痕跡)
(2)完成下面的證明.
證明:連接,
______,______,
四邊形是平行四邊形(__________)(填推理依據(jù)).
.
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【題目】二次函數(shù)()的圖象如圖所示,對稱軸為直線,有下列結(jié)論:①;②;③.其中,正確結(jié)論的個數(shù)是( )
A.3個B.2個C.1個D.0個
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【題目】在正方形ABCD中,點E為BC邊的中點,把△ABE沿直線AE折疊,B點落在點B′處,B′B與AE交于點F,連接AB′,DB′,F(xiàn)C.下列結(jié)論:①AB′=AD;②△FCB′為等腰直角三角形;③∠CB′D=135°;④BB′=BC;⑤.其中正確的個數(shù)為( ).
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB = 90,D為AB的中點,AE∥DC,CE∥DA.
(1)求證:四邊形ADCE是菱形;
(2)連接DE,若AC =,BC =2,求證:△ADE是等邊三角形.
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