Question

10． 如圖，點(diǎn)A，B為直線y=x上的兩點(diǎn)，過A，B兩點(diǎn)分別作y軸的平行線交雙曲線y=$\frac{1}{x}$（x＞0）于C，D兩點(diǎn)，若2BD=5AC，則OC²-$\frac{4}{25}$OD²的值為$\frac{42}{25}$．

Answer 1

分析 延長AC交x軸于E，延長BD交x軸于F．設(shè)A、B的橫坐標(biāo)分別是a，b，點(diǎn)A、B為直線y=x上的兩點(diǎn)，A的坐標(biāo)是（a，a），B的坐標(biāo)是（b，b）．則AE=OE=a，BF=OF=b．根據(jù)BD=2AC即可得到a，b的關(guān)系，然后利用勾股定理，即可用a，b表示出所求的式子從而求解．

解答 解：延長AC交x軸于E，延長BD交x軸于F．
設(shè)A、B的橫坐標(biāo)分別是a，b，
∵點(diǎn)A、B為直線y=x上的兩點(diǎn)，
∴A的坐標(biāo)是（a，a），B的坐標(biāo)是（b，b）．則AE=OE=a，BF=OF=b．
∵C、D兩點(diǎn)在交雙曲線$\frac{1}{x}$（x＞0）上，則CE=$\frac{1}{a}$，DF=$\frac{1}$．
∴BD=BF-DF=b-$\frac{1}$，AC=a-$\frac{1}{a}$．
∵2BD=5AC
∴（b-$\frac{1}$）=$\frac{5}{2}$（a-$\frac{1}{a}$），
兩邊平方得：b²+$\frac{1}{^{2}}$-2=$\frac{25}{4}$（a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$）-$\frac{25}{2}$，
∴b²+$\frac{1}{^{2}}$=$\frac{25}{4}$（a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$）-$\frac{21}{2}$，
在直角△OCE中，OC²=OE²+CE²=a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$，同理OD²=b²+$\frac{1}{^{2}}$，
∴OC²-$\frac{4}{25}$OD²=（a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$）-$\frac{4}{25}$（b²+$\frac{1}{^{2}}$）=$\frac{42}{25}$，
故答案為：$\frac{42}{25}$．

點(diǎn)評 本題考查的是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，根據(jù)直線與反比例函數(shù)的解析式，設(shè)出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)后可以得到點(diǎn)C，D的坐標(biāo)，運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計算求出代數(shù)式的值是解題的關(guān)鍵．