Question

15．如圖，AC是⊙O的直徑，∠A=30°，AB交⊙O于D，CD=1，
（1）求AC的長；
（2）若BC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，求證：BC是⊙O的切線．

Answer 1

分析 （1）直接利用圓周角定理得出∠ADC=90°，再利用直角三角形的性質(zhì)得出AC=2CD，進而得出答案；
（2）利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出∠B的度數(shù)，再利用切線的判定方法得出答案．

解答 （1）解：∵AC是⊙O的直徑，
∴∠ADC=90°，
又∵∠A=30°，CD=1，
∴AC=2CD=2；

（2）證明：由（1）知，在直角△BCD中，
∵BC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，CD=1，
∴sinB=$\frac{CD}{BC}$=$\frac{3}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠B=60°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠ACB=90°，
∴BC是⊙O 的切線．

點評 此題主要考查了切線的判定以及銳角三角函數(shù)關(guān)系，正確得出∠B的度數(shù)是解題關(guān)鍵．