Question

【題目】閱讀與思考：

阿基米德（公元前287年一公元前212年），偉大的古希臘哲學(xué)家、百科式科學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、力學(xué)家，靜態(tài)力學(xué)和流體靜力學(xué)的奠基人，阿基米德流傳于世的著作有10余種，多為希臘文手稿下面是《阿基米德全集》中記載的一個(gè)命題：AB是⊙O的弦，點(diǎn)C在⊙O上，且CD⊥AB于點(diǎn)D，在弦AB上取點(diǎn)E，使AD＝DE，點(diǎn)F是上的一點(diǎn)，且＝，連接BF可得BF＝BE．

（1）將上述問題中弦AB改為直徑AB，如圖1所示，試證明BF＝BE；

（2）如圖2所示，若直徑AB＝10，EO＝OB，作直線l與⊙O相切于點(diǎn)F．過點(diǎn)B作BP⊥l于點(diǎn)P．求BP的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）連接CE、BC，證出△CEB≌△CFB，則可得出結(jié)論；
（2）先求BE長，證出△AFB∽△FPB，得比例線段即可求出BP長．

（1）如圖1所示，連接CE、BC，

∵CD⊥AB，AD＝DE，

∴AC＝CE，

∴∠CAE＝∠CEA，

又∵，

∴CA＝CF，∠FBC＝∠EBC，

∴CE＝CF，

又∵∠A+∠F＝180°，∠CEA+∠CEB＝180°，

∴∠CEB＝∠F，

∴△CEB≌△CFB（AAS），

∴BE＝BF；

（2）如圖2所示，連接AF，

∵AB＝10，EO＝，

∴EB＝7.5，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠AFB＝90°，

∵l與與⊙O相切于點(diǎn)F，

∴∠OFP＝90°，

∴∠AFO＝∠BFP，

又∵OF＝OA，

∴∠OAF＝∠OFA，

∴∠OAF＝∠BFP，

∵BP⊥l于點(diǎn)P，

∴∠BPF＝90°，

∴△AFB∽△FPB，

，

即，

．