Question

如圖，△ABC中，AC=BC，F(xiàn)為底邊AB上一點(diǎn)，

BF

AF

=

m

n

（m，n＞0），D是CF中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AD并延長(zhǎng)交BC于E．
（1）求

BE

EC

的值；
（2）若BE=2EC，求證：CF⊥AB．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）過(guò)點(diǎn)F作FG∥BC交AE于G，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠DFG=∠DCE，∠DGF=∠DEC，再根據(jù)中點(diǎn)定義可得CD=DF，然后利用“角角邊”證明△DCE和△DFG全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得EC=GF，然后求出

AF

AB

，再求出△AFG和△ABE相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求解即可得到

FG

BE

，從而得到BE：EC；
（2）求出BE：EC，然后代入（1）的關(guān)系式計(jì)算即可求出m=n，從而得到點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)解答．

解答：（1）解：如圖，過(guò)點(diǎn)F作FG∥BC交AE于G，
則∠DFG=∠DCE，∠DGF=∠DEC，
∵D是CF的中點(diǎn)，
∴CD=DF，
在△DCE和△DFG中，

∠DFG=∠DCE  DF=CD  ∠GDF=∠EDC

，
∴△DCE≌△DFG（ASA），
∴EC=GF，
∵

BF

AF

=

m

n

，
∴

AF

AB

=

n

m+n

，
∵FG∥BC，
∴△AFG∽△ABE，
∴

AF

AB

=

FG

BE

=

n

m+n

，
∴

BE

EC

=

m+n

n

；

（2）證明：若BE=2EC，則BE：EC=2，
由（1）知，

m+n

n

=2，
解得：m=n，
∴點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，
∵AC=BC，
∴CF⊥AB．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，作輔助線，構(gòu)造出全等三角形和相似三角形是解題的關(guān)鍵．