Question

如圖1，D是邊長為8cm的等邊△ABC的邊AB上的一點，DQ⊥AB交邊BC于點Q，RQ⊥BC交邊AC于點R，RP⊥AC交邊AB于點E，交QD的延長線于點P．
（1）求證：△PQR是等邊三角形；
（2）如圖2，當點E恰好與點D重合時，求出BD的長度．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,等邊三角形的判定與性質

專題：

分析：（1）△PQR是等邊△的理由就是可以求出∠DQR和∠PRQ都是60°；
（2）易證△BDQ≌△RQC≌△ADR，利用“全等三角形的對應邊相等”、“Rt△中30°所對的邊是斜邊的一半”來解答．

解答：（1）證明：如圖1，∵△ABC為等邊三角形，
∴∠B=60°．
又∵DQ⊥AB，
∴∠B+∠BQD=∠BQD+∠PQR=90°，
∴∠PQR=60°．
同理，得
∠PRQ=60°
∴△PQR是等邊三角形；

（2）由（1）知，△PQR是等邊三角形．則DQ=QR．
如圖2，∵在△BDQ與△RQC中，

∠B=∠C ∠BEQ=∠CQR EQ=RQ

，
∴△BDQ≌△RQC（AAS）．
同理，△RQC≌△ADR．
∴△BDQ≌△RQC≌△ADR，
∴DB=AR，
∵RQ⊥BC，∠A=60°，
∴2AR=AD，
∴3DB=AB，
∴DB=

1

3

×8=

8

3

（cm）．

點評：本題考查了等邊三角形的判定與性質和全等三角形的判定與性質．全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當的判定條件．