Question

如圖，△ABC是圓O的內接三角形，且AB≠AC，∠ABC和∠ACB的平分線，分別交圓O于點D，E，且BD=CE，則∠A等于（　�。�

A．90°

B．60°

C．45°

D．30°

Answer 1

分析：連接AD、BE，求出弧BD=弧CE，推出∠BAD=∠EBC，推出∠CAB=∠ABD+∠ABE，求出∠CAB=∠ABD+∠ACE，根據角平分線性質求出∠ABC+∠ACB=2∠CAB，根據三角形的內角和定理得出3∠CAB=180°，求出即可．

解答：解：連接AD、BE，
∵BD=CE
∴弧BD=弧CE，∴∠BAD=∠EBC，
∵∠BAD=∠CAD+∠CAB，∠EBC=∠ABE+∠ABD+∠CBD，
∴∠CAD+∠CAB=∠ABE+∠ABD+∠CBD，
∵∠CAD=∠CBD（同圓中，同弧所對的圓周角相等），
∴∠CAB=∠ABD+∠ABE，
∵∠ABE=∠ACE（同圓中，同弧所對的圓周角相等），
∴∠CAB=∠ABD+∠ACE（等量代換）
∵BD、CE分別平分∠ABC、∠ACB，
∴∠ABD=

1

2

∠ABC，∠ACE=

1

2

∠ACB
∴∠CAB=

1

2

（∠ABC+∠ACB）
∴∠ABC+∠ACB=2∠CAB
∵∠CAB+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠CAB+2∠CAB=180°，
3∠CAB=180°
∴∠CAB=60°．
故選C．

點評：本題考查了三角形的內角和定理，三角形的外接圓與外心，圓周角定理，圓心角、弧、弦之間的關系等知識點，主要考查學生運用定理進行推理的能力，題目綜合性比較強，有一定的難度．