Question

如圖．△ABC是圓的內接正三角形，D是BC弧上任意一點，試探求線段BD、DC、DE之間的關系并予證明．

Answer 1

分析：延長CD至H，使DH=BD，△ABC為正三角形，然后可證△ABD≌△CBH，得BD+DC=HC=AD，利用（同弧所對的圓周角相等）求△ABD∽△CED，然后利用其對應邊成比例即可證明．

解答：解：

1

BD

+

1

DC

=

1

DE

證明：延長CD至H，使DH=BD，△ABC為正三角形，
∴∠BDC=120°，∠BDH=180°-∠BDC=60°，
∴△DBH為正三角形，
∴BD=HD，∠H=60°，
又∵AB=BC，∠ADB=∠ACB=60°，∠BAD=∠BCD，
∴△ABD≌△CBH，
∴AD=HC=HD+DC=BD+DC，
又∵∠DCE=∠BAD，∠EDC=∠ADB，（同弧所對的圓周角相等）
∴△ABD∽△CED
∴

AD

BD

=

DC

DE

∴

BD+DC

BD

=

DC

DE

，
∴

BD+DC

BD?DC

=

1

DE

∴

1

BD

+

1

DC

=

1

DE

．

點評：此題考查學生對相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，等邊三角形的判定與性質，圓周角定理等知識點的理解和掌握，綜合性較強，難度較大．