Question

16．如圖①，在等腰直角三角形BAD和等腰直角三角形EAC中，AB=AD，AE=AC，點E在AD上．

（1）猜想BE和DC有什么關系？并證明你的結論；
（2）將圖①中的△AEC繞點A轉動，得到圖②和圖③，（1）中的結論還成立嗎？試說明理由．

Answer 1

分析 （1）AD與BE相等且垂直；延長BE交CD于F，根據(jù)已知條件證得△ABE≌△ADC，由全等三角形的性質得到BE=CD，∠ABE=∠ADC，根據(jù)對頂角相等得到∠AEB=∠DEF，于是得到結論；
（2）如圖②，DC=BE，DC⊥BE仍然成立．由∠BAD=∠CAE=90°，得到∠BAE=∠DAC，推出△BAE≌△DAC（SAS），根據(jù)全等三角形的性質得到DC=BE，∠ABE=∠ADC，設AD、BE交點為G，CD，BE交于H，根據(jù)對頂角相等得到∠AGB=∠DGE，于是得到∠DHG=∠BAG=90°，即可得到結論；如圖③，方法同圖②．

解答 解：（1）①如圖①，結論：DC=BE，DC⊥BE；
延長BE交CD于F，
在△ABE與△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAE=∠CAD=90°}\\{AE=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADC，
∴BE=CD，∠ABE=∠ADC，
∵∠AEB=∠DEF，
∴∠EFD=∠BAE=90°，
∴BE⊥CD；

（2）如圖②，DC=BE，DC⊥BE仍然成立．
∵∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE，
即∠BAE=∠DAC，
在△BAE和△DAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAE=∠DAC}\\{AE=AC}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△DAC（SAS），
∴DC=BE，∠ABE=∠ADC，
設AD、BE交點為G，CD，BE交于H，
∵∠AGB=∠DGE，
∴∠DHG=∠BAG=90°，
∴CD⊥BE；
如圖③，DC=BE，DC⊥BE仍然成立．
延長BE交CD于F，
∵∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠BAD-∠DAE=∠CAE-∠DAE，
即∠BAE=∠DAC，
在△BAE和△DAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAE=∠DAC}\\{AE=AC}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△DAC（SAS），
∴DC=BE，∠ABE=∠ADC，
設CD，BE交于H，
∵∠AHB=∠DHF，
∴∠DFB=∠BAD=90°，
∴CD⊥BE．

點評 本題考查了旋轉的性質，等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，正確的識圖是解題的關鍵．