Question

2．如圖，在△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)O在CB上，⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且與AB相切于點(diǎn)D，與CB的另一個(gè)交點(diǎn)為E．
（1）求證：DE∥OA；
（2）若AB=10，tan∠DEO=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)AB與⊙O相切，AC是⊙O的切線，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)判斷出AO⊥CD，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是90°，判斷出ED⊥CD，得出DE∥OA；
（2）由DE∥OA，得到∠AOC=∠DEO，求得tan∠AOC=2，得到AC=2OC，設(shè)⊙O的半徑為r，通過(guò)△BDO∽△ABC，得到$\frac{BC}{BD}=\frac{AC}{OC}$=2，于是得到BC=2BD=20-4r，然后根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵∠ACB=90°，CO是⊙O的半徑，
∴AC是⊙O的切線，
又∵AB與⊙O相切，
∴OC=OD，且AO為∠CBA的角平分線，
∴AO⊥CD，
又∵CE是⊙O的直徑，且C是⊙O上一點(diǎn)，
∴DE⊥CD，
∴DE∥OA；

（2）解：∵DE∥OA，
∴∠AOC=∠DEO，
∵tan∠DEO=2，
∴tan∠AOC=2，
∴AC=2OC，
設(shè)⊙O的半徑為r，
∴OD=OC=r，AC=AD=2r，BD=10-2r，
∵∠ACB=∠BDO=90°∠B=∠B，
∴△BDO∽△ABC，
∴$\frac{BC}{BD}=\frac{AC}{OC}$=2，
∴BC=2BD=20-4r，
∵AC²+BC²=AB²，
∴（2r）²+（20-4r）²=10²，
解得：r=3，r=5（不合題意，舍去）．
∴⊙O的半徑為3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．