若a<b<c,求證方程:數(shù)學公式=0,一定有兩個實數(shù)根,且一個在a與b之間,一個在b與c之間.

解:=0,
兩邊同時乘以(x-a)(x-b)(x-c)得,
(x-b)(x-c)+(x-a)(x-c)+(x-a)(x-b)=0,
整理得,3x2-(2a+2b+2c)x+bc+ac+ab=0,
△=(2a+2b+2c)2-4×3(bc+ac+ab)
=2(2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc)
=2[(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2]
∵a<b<c,
∴a-c≠0,a-b≠0,b-c≠0,
∴△=2[(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2]>0.
∴方程一定有兩個不相等的實數(shù)根.
當x=a時,ya=(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)+(x-a)(x-b)=(a-b)(a-c),
而a<b<c,
∴a-b<0,a-c<0,
∴(a-b)(a-c)>0,
當x=b時,yb=(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)+(x-a)(x-b)=(b-c)(b-a),
而a<b<c,
∴b-a>0,b-c<0,
∴(b-c)(b-a)<0,
當x=c時,yc=(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)+(x-a)(x-b)=(c-a)(c-b),
而a<b<c,
∴c-a>0,c-b>0,
∴(c-a)(c-b)>0,
∴ya>0,yb<0,yc>0,
∴二次方程(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)+(x-a)(x-b)=0的一個根在a,b之間,另一個根在b,c之間.
分析:(1)將分式方程化為整式方程(一元二次方程),利用根的判別式解答;
(2)將方程問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的問題.根據(jù)y值的大小,判斷出與x軸交點的范圍.
點評:此題考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想,將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程,再利用整式方程的性質(zhì)解答是常用的方法;而通過數(shù)形結(jié)合將方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題,可提供簡潔直觀的解答方法.
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已知:關(guān)于x的兩個方程x2+(m+1)x+m-5=0…①與mx2+(n-1)x+m-4=0…②方程①有兩個不相等的負實數(shù)根,方程②有兩個實數(shù)根.
(1)求證方程②的兩根符號相同;
(2)設(shè)方程②的兩根分別為α、β,若α:β=1:3,且n為整數(shù),求m的最小整數(shù)值.

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已知:關(guān)于x的兩個方程
2x2+(m+4)x+m-4=0,①
與mx2+(n-2)x+m-3=0,②
方程①有兩個不相等的負實數(shù)根,方程②有兩個實數(shù)根.
(1)求證方程②的兩根符號相同;
(2)設(shè)方程②的兩根分別為α、β,若α:β=1:2,且n為整數(shù),求m的最小整數(shù)值.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

23、已知:二次函數(shù)y=x2+(n-2m)x+m2-mn.
(1)求證:此二次函數(shù)與x軸有交點;
(2)若m-1=0,求證方程x2+(n-2m)x+m2-mn=0有一個實數(shù)根為1;
(3)在(2)的條件下,設(shè)方程x2+(n-2m)x+m2-mn=0的另一根為a,當x=2時,關(guān)于n 的函數(shù)y1=nx+am與y2=x2+(n-2m)ax+m2-mn的圖象交于點A、B(點A在點B的左側(cè)),平行于y軸的直線L與y1=nx+am、y2=x2+(n-2m)ax+m2-mn的圖象分別交于點C、D,若
CD=6,求點C、D的坐標.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

△ABC中,∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c,若a、b為關(guān)于x的方程  x2-(c+4)x+4c+8=0的二根.
( 1)求證∠C=90°.
(2)若25asinA=9c,求a、b、c及△ABC的內(nèi)切圓的面積.

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