Question

【題目】已知在菱形ABCD中,對角線AC、BD交于點O,AB=2AO；(1)如圖1,求∠BAC的度數(shù)；(2)如圖2,P為菱形ABCD外一點,連接AP、BP、CP,若∠CPB=120°,求證:CP+BP=AP；(3)如圖3,M為菱形ABCD外一點,連接AM、CM、DM,若∠AMD=150°,

CM=2，DM=2，求四邊形ACDM的面積。

Answer 1

【答案】（1）∠BAC=60°；（2）見解析；（3）.

【解析】

（1）如圖1中，證明△ABC是等邊三角形即可解決問題．

（2）在PA上截取PH，使得PH=PC，連接CH．證明△PCB≌△HCA（SAS）即可；

（3）如圖3中，作AH⊥DM交DM的延長線于H，延長AC到N，使得CN=AC，連接DN．證明A，N，D，M四點共圓，外接圓的圓心是點C，推出AD=CM= ，解直角三角形求出AH即可解決問題．

解：（1）如圖1中，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，∠ABD=∠CBD，

∴∠AOB=90°，

∵AB=2OA，

∴∠ABO=30°，

∴∠ABC=60°，

∵BA=BC，

∴△ABC是等邊三角形，

∴∠BAC=60°；

（2）證明：如圖2中，

在PA上截取PH，使得PH=PC，連接CH．

∵∠BPC=120°，∠BAC=60°，

∴∠BPC+∠BAC=180°，

∴A，B，P，C四點共圓，

∴∠APC=∠ABC=60°，

∵PH=PC，

∴△PCH是等邊三角形，

∴PC=CH，∠PCH=∠ACB=60°，

∴∠PCB=∠HCA，

∵CB=CA，CP=CH，

∴△PCB≌△HCA（SAS），

∴PB=AH，

∴PA=PH+AH=PC+PB；

（3）解：如圖3中，作AH⊥DM交DM的延長線于H，延長AC到N，使得CN=AC，連接DN．

∵CA=CD=CN，

∴∠ADN=90°，

∵CD=CN，

∴∠N=∠CDN，

∵∠ACD=60°=∠N+∠CDN，

∴∠N=30°，

∵∠AMD=150°，

∴∠N+∠AMD=180°，

∴A，N，D，M四點共圓，外接圓的圓心是點C，

∴CA=CD=AD=CM=，

在Rt△AHM中，∵∠AMH=30°，

∴MH=AH，設AH=x，則HM=x，

在Rt△ADH中，∵AD2=AH2+DH2，

∴28=x2+（x+2）2，

解得x=或-2（舍棄），

∴AH=，

∴S四邊形ACDM=S△ACD+S△ADM=×+×2×=．