【題目】某牛奶公司計劃在三棟樓之間建一個取奶站,三棟樓在一條直線上,順次為A樓、B樓、C樓,其中A樓與B樓之間的距離為40米,B樓與C樓之間的距離為60米、已知A樓每天有20人取奶,B樓每天有70人取奶,C樓每天有60人取奶,公司提出兩種建站方案:

方案一:讓每天所有取奶的人到奶站的距離最。

方案二:讓每天A樓與C樓所有取奶的人到奶站的距離之和等于B樓所有取奶的人到奶站的距離之和,

1)若按第一種方案建站,取奶站應(yīng)建在什么位置?

2)若按方案二建站,取奶站應(yīng)建在什么位置?

3)在(2)的情況下,若A樓每天取奶的人數(shù)增加,增加的人數(shù)不超過22人,那么取奶站將離B樓越來越遠,還是越來越近?請說明理由.

【答案】(1) 按方案一建奶站,取奶站應(yīng)建在B處;(2) 按方案二建奶站,取奶站建在距A80米處.(3) 當(dāng)A樓取奶的人數(shù)增加時,按照方案二建奶站,取奶站建在B、C兩樓之間,且隨著人數(shù)的增加,離B樓越來越遠.

【解析】試題分析:(1)設(shè)取奶站建在距Ax米處,所有取奶的人到奶站的距離總和為y米,求出在各函數(shù)在自變量下的最小值,(2)設(shè)取奶站建在距Ax米處,列出等量關(guān)系式,解得x

3)設(shè)A樓取奶人數(shù)增加a人,在各個自變量下,解得xa的關(guān)系.

試題解析:解:1)設(shè)取奶站建在距Ax米處,所有取奶的人到奶站的距離總和為y米.

當(dāng)0≤x≤40時,y=20x+7040﹣x+60100﹣x=﹣110x+8800

當(dāng)x=40時,y的最小值為4400,

當(dāng)40x≤100y=20x+70x﹣40+60100﹣x=30x+3200

此時,y的值大于4400

因此按方案一建奶站,取奶站應(yīng)建在B處;

2)設(shè)取奶站建在距Ax米處,

①0≤x≤40時,20x+60100﹣x=7040﹣x

解得x=0(舍去)

當(dāng)40x≤100時,20x+60100﹣x=70x﹣40

解得:x=80

因此按方案二建奶站,取奶站建在距A80米處.

3)設(shè)A樓取奶人數(shù)增加a

當(dāng)0≤x≤40時,(20+ax+60100﹣x=7040﹣x

解得x=(舍去).

當(dāng)40x≤100時,(20+ax+60100﹣x=70x﹣40),

解得x=

當(dāng)a增大時,x增大.

當(dāng)A樓取奶的人數(shù)增加時,按照方案二建奶站,取奶站建在B、C兩樓之間,且隨著人數(shù)的增加,離B樓越來越遠.

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