Question

在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），將直線y=kx沿y軸向上平移3個單位長度后恰好經(jīng)過B、C兩點(diǎn)．
（1）求直線BC及拋物線的解析式；
（2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，點(diǎn)P在拋物線的對稱軸上，且∠APD=∠ACB，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）依題意設(shè)直線BC的解析式為y=kx+3，把B點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式求出直線BC的表達(dá)式．然后又已知拋物線y=x²+bx+c過點(diǎn)B、C，代入求出解析式．
（2）由y=x²-4x+3求出點(diǎn)D，A的坐標(biāo)．得出三角形OBC是等腰直角三角形求出∠OBC，CB的值．過A點(diǎn)作AE⊥BC于點(diǎn)E，求出BE，CE的值．證明△AEC∽△AFP求出PF可得點(diǎn)P在拋物線的對稱軸，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵y=kx沿y軸向上平移3個單位長度后經(jīng)過y軸上的點(diǎn)C，
∴C（0，3），
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+3，
∵B（3，0）在直線BC上，
∴3k+3=0，
解得：k=-1，
∴直線BC的解析式為y=-x+3，
∵拋物線y=x²+bx+c過點(diǎn)B、C，
∴

9+3b+c=0 c=3

解得：

b=-4 c=3

，
∴拋物線的解析式為y=x²-4x+3；
（2）由y=x²-4x+3．
可得D（2，-1），A（1，0），
∴OB=3，OC=3，OA=1，AB=2，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠OBC=45°，CB=3

2

，
如圖，設(shè)拋物線對稱軸與x軸交于點(diǎn)F，
∴AF=

1

2

AB=1，
過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，
則有∠AEB=90°，
∴BE=AE=

2

，CE=2

2

，
在△AEC與△AFP中，
∵∠AEC=∠AFP=90°，∠ACE=∠APF，
∴△AEC∽△AFP，
∴

AE

AF

=

CE

PF

，

2

1

=

2 2

PF

，
解得：PF=2，
∵點(diǎn)P在拋物線的對稱軸上，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2）或（2，-2）．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的綜合知識，涉及到的考點(diǎn)有：函數(shù)圖形的平移、一次函數(shù)解析式的確定、二次函數(shù)解析式的確定、相似三角形、等腰直角三角形的判定及性質(zhì)、勾股定理等，對學(xué)生綜合運(yùn)用知識的能力要求較高．