Question

如圖，一個防汛壩的橫斷面是梯形ABCD，壩頂BC的寬為10米，壩高為5米，斜坡AB的坡比i₁=1：1.5，斜坡CD的坡比i₂=1：0.8．一次由于上游突降大雨，造成河水迅速上漲，為了及時加高壩身，只能用壩身后一側CD處的土臨時加高，現(xiàn)決定將CD一側寬1米的土方全部用來加高壩身，且使壩身兩側的坡度與原來保持一致．問這樣能使壩高增加多少米？（精確到0.1米）

Answer 1

考點：解直角三角形的應用-坡度坡角問題

專題：

分析：設壩高增加x米，壩的厚度為a米就可以表示出挖方的體積，作EP⊥BC于P，F(xiàn)Q⊥BC于Q由坡比就可以求出BP=1.5x，MQ=0.8x．再根據(jù)所以新增上部土方體積=挖方體積建立方程求出其解即可．

解答：解：設壩高增加x米，壩的厚度為a米．由題意，得
挖掉的土方總體積為：V=Sh=1×5a=5a，
作EP⊥BC于P，F(xiàn)Q⊥BC于Q．
∵斜坡AB的坡比i₁=1：1.5，斜坡CD的坡比i₂=1：0.8，
∴

EP

BP

=

1

1.5

，

FQ

CQ

=

1

0.8

∴BP=1.5x，MQ=0.8x．
EF=PQ=BC-BP-QN-CN=10-1.5x-0.8x-1=9-2.3x．
所以新增上部土方體積=EBP及厚度方向組成的四棱錐的體積+PQEF與厚度方向組成的長方體的體積+FNQ及厚度方向組成的四棱錐的體積
∴

1

3

×1.5x×ax+（9-2.3x）ax+

1

3

×0.8x×ax=5a，
整理：

23

15

x²-9x+5=0
解得：x₁=0.6 x₂=5.2（舍去）
故壩增高0.6米．

點評：本題考查了解直角三角形的運用，四棱錐的體積的運用，長方體的體積的運用，坡度問題的運用，解答時根據(jù)所以新增上部土方體積=挖方體積建立方程是關鍵．