Question

如圖，直線AB與坐標軸分別交于點A、點B，且OA、OB的長分別為方程x²-6x+8=0的兩個根（OA＜OB），點C在y軸上，且OA：AC=1：2，D（3，0）直線CD垂直于直線AB于點P，交x軸于點D．
（1）求出點A、點B的坐標．
（2）請求出直線CD的解析式．
（3）若點M為坐標平面內(nèi)任意一點，在直線AB上是否存在這樣的點M，使以點B、D、M為頂點的三角形與△AOB相似？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)一元二次方程的解法得出0A=2，0B=4，即可得出的A，B的坐標；
（2）設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b，把點C、D的坐標代入函數(shù)關(guān)系式，利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；
（3）需要分類討論：△DMB∽△AOB和△MDB∽△AOB兩種情況，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例來求點M的坐標．

解答： 解：（1）∵x²-6x+8=0，
∴x₁=4，x₂=2                            
∵0A、0B為方程的兩個根，且0A＜0B，
∴0A=2，0B=4                         
∴A（0，2），B（-4，0）；

（2）∵0A：AC=1：2，OA=2，
∴AC=4，
∴OC=OA+AC=2+4=6，
∴C（0，6），
設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b（k≠0），
把C（0，6），D（3，0）分別代入得：

6=b 3k+b=0

解得

k=-2 b=6

，
∴直線CD的解析式為：y=-2x+6；

（3）存在，理由如下：
由A（0，2），B（-4，0）得到直線AB的解析式為：y=

1

2

x+2．
設(shè)M（x，y）．
當△MDB∽△AOB時，∠BDM=∠BOA=90°，且

BD

BO

=

DM

OA

，即

7

4

=

y

2

，
解得 y=

7

2

．
則

7

2

=

1

2

x+2，
解得 x=3．
即M（3，

7

2

）；
同理，當△DMB∽△AOB時，M（

8

5

，

14

5

）．
綜上所述，符合條件的點M的坐標是（3，

7

2

）或（

8

5

，

14

5

）．

點評：此題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及相似三角形的判定和一元二次方程的解法等知識，相似三角形與函數(shù)經(jīng)常綜合出現(xiàn)，同學們應(yīng)注意靈活應(yīng)用．