Question

8．已知：如圖，直線y=kx+b與x軸y軸分別交于點E，F(xiàn)，點E，F(xiàn)的坐標(biāo)為（8，0），（0，6），點A的坐標(biāo)為（6，0）．
（1）求直線EF的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若點P（x，y）是第一象限內(nèi)的直線y=kx+b上的一個動點，當(dāng)點P運動過程中，試寫出△OPA的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）探究：當(dāng)P運動到什么位置時，△OPA的面積為9，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）將點E、F的坐標(biāo)代入直線y=kx+b中得出關(guān)于k、b的二元一次方程，解方程即可得出結(jié)論；
（2）過點P作PD⊥x軸于點D，由P點在第一象限可得出0＜x＜8，再根據(jù)坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)的意義可知線段OA、PD的長度，結(jié)合三角形的面積公式即可得出結(jié)論；
（3）令S=9，得出關(guān)于x的一元一次方程，解方程求出x的值，根據(jù)E、F點橫坐標(biāo)的數(shù)值即可得知此事點P為線段EF的中點．

解答 解：（1）∵點E（8，0），點F（0，6）在直線EF上，
∴有$\left\{\begin{array}{l}{0=8k+b}\\{6=b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=6}\end{array}\right.$．
∴直線EF的函數(shù)關(guān)系式為y=-$\frac{3}{4}$x+6．
（2）過點P作PD⊥x軸于點D，如圖所示．

∵點P（x，y）是第一象限內(nèi)的直線y=kx+b上的點，
∴y=-$\frac{3}{4}$x+6，且0＜x＜8．
∵點A的坐標(biāo)為（6，0），點P的坐標(biāo)為（x，-$\frac{3}{4}$x+6），
∴OA=6，PD=-$\frac{3}{4}$x+6．
△OPA的面積S=$\frac{1}{2}$OA•PD=$\frac{1}{2}$×6（-$\frac{3}{4}$x+6）=-$\frac{9}{4}$x+18（0＜x＜8）．
（3）令S=9，即-$\frac{9}{4}$x+18=9，
解得：x=4，
∵E點橫坐標(biāo)為8，F(xiàn)點橫坐標(biāo)為0，
∴此時P點為線段EF的中點．
故當(dāng)P運動到線段EF的中點時，△OPA的面積為9．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、坐標(biāo)系中點的意義、三角形的面積公式以及解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是：（1）待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）找出OA、PD的長；（3）由S=9得出關(guān)于x的一元一次方程．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，由點在函數(shù)圖象上，代入點的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)解析式．