Question

如圖1，△ABC的邊BC在直線l上，AC⊥BC，且AC=BC；△EFP的邊FP也在直線l上，邊EF與邊AC重合，且EF=FP．

（1）如圖1，請(qǐng)你寫出AB與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系（不必證明）；

（2）將△EFP沿直線l向左平移到圖2的位置時(shí)，EP交AC于點(diǎn)O，連接AP，BO．猜想并寫出BO與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（3）將△EFP沿直線l繼續(xù)向左平移到圖3的位置時(shí)，EP的延長(zhǎng)線交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)O，連接AP，BO．此時(shí)，BO與AP還具有（2）中的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

_{.解：（1）AB=AP；AB⊥AP．             
（2）BO=AP；BO⊥AP．}                   

_{證明：①由已知得：EF=FP，EF⊥FP，
      ∴∠EPF=45°．}

_{又∵AC⊥BC，∴∠COP=∠CPO=45°．∴CO=CP．}

_{在Rt△BCO和Rt△ACP中，BC=AC，∠BCO=∠ACP=90°，CO=CP，
∴Rt△BCO≌Rt△ACP．∴BO=AP．}                    

_{②如圖，延長(zhǎng)BO交AP于點(diǎn)M．
∵Rt△BCO≌Rt△ACP，∴∠OBC=∠PAC．
在Rt△BCO中，∠OBC+∠BOC=90°，又∠BOC=∠AOM，
∴∠PAC+∠AOM=∠OBC+∠BOC=90°．∴∠OMA=90°．∴BO⊥AP．}    

_成立．   

   _{證明：①如圖，∵∠EPF=45°，∴∠CPO=45°．
又∵AC⊥BC，∴∠COP=∠CPO=45°．∴CO=CP．
在Rt△BCO和Rt△ACP中，
BC=AC，∠BCO=∠ACP=90°，CO=CP，
∴Rt△BCO≌Rt△ACP．∴BO=AP．}                      

E    A