【題目】如圖,已知拋物線y=﹣x2﹣2x+m+1x軸交于A(x1 , 0)、B(x2 , 0)兩點(diǎn),且x1<0,x2>0,與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為P.(提示:若x1 , x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個(gè)實(shí)根,則x1+x2=﹣ ,x1x2=

(1)m的取值范圍;

(2)OA=3OB,求拋物線的解析式;

(3)(2)中拋物線的對(duì)稱軸PD上,存在點(diǎn)Q使得△BQC的周長(zhǎng)最短,試求出點(diǎn)Q的坐標(biāo).

【答案】(1)m>﹣1;(2)y=﹣x2﹣2x+3;(3)存在點(diǎn)Q(﹣1,2)使得△BQC的周長(zhǎng)最短.

【解析】

(1)將拋物線的問(wèn)題轉(zhuǎn)化到一元二次方程中,利用一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系解決;

(2)先用一元二次方程的兩根表示出OA,OB,再用根與系數(shù)的關(guān)系即可;

(3)先由于點(diǎn)A,B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸PD對(duì)稱,連接ACPD的交點(diǎn)就是使BQC的周長(zhǎng)最短,然后確定出直線AC解析式,最后將拋物線的對(duì)稱軸代入直線AC解析式中即可.

(1)y=0,則有﹣x2﹣2x+m+1=0,

即:x1 , x2是一元二次方程x2+2x﹣(m+1)=0,

∵拋物線y=﹣x2﹣2x+m+1x軸交于A(x1 , 0)、B(x2 , 0)兩點(diǎn),

x1x2=﹣(m+1),x1+x2=﹣2,

=4+4(m+1)>0,

m>﹣2

x1<0,x2>0,

x1x2<0,

﹣(m+1)<0,

m>﹣1,

m>﹣1

(2)解:∵A(x1 , 0)、B(x2 , 0)兩點(diǎn),且x1<0,x2>0,

OA=﹣x1 , OB=x2 ,

OA=3OB,

﹣x1=3x2 ,

(1)知,x1+x2=﹣2,

x1x2=﹣(m+1),

聯(lián)立①②③得,x1=﹣3,x2=1,m=2,

∴拋物線的解析式y=﹣x2﹣2x+3

(3)存在點(diǎn)Q,

理由:如圖,

連接ACPDQ,點(diǎn)Q就是使得BQC的周長(zhǎng)最短,(∵點(diǎn)A,B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸PD對(duì)稱,)

連接BQ,

(2)知,拋物線的解析式y=﹣x2﹣2x+3;x1=﹣3,

∴拋物線的對(duì)稱軸PDx=﹣1,C(0,3),A(﹣3,0),

∴用待定系數(shù)法得出,直線AC解析式為y=x+3,

當(dāng)x=﹣1時(shí),y=2,

Q(﹣1,2),

∴點(diǎn)Q(﹣1,2)使得BQC的周長(zhǎng)最短

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平均數(shù)/環(huán)

9.5

9.5

9.6

9.6

方差/環(huán)2

5.1

4.7

4.5

5.1

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