Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，點E是AD邊的中點，BE⊥AC，垂足為點F，連接DF，分析下列四個結論：①△AEF∽△CAB；②DF＝DC；③S△DCF＝4S△DEF；④tan∠CAD＝．其中正確結論的個數是（　�。�

A.4B.3C.2D.1

Answer 1

【答案】A

【解析】

解：如圖，過D作DMBE交AC于N，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴ADBC，∠ABC=90°，AD=BC，S△DCF=4S△DEF

∵BE⊥AC于點F，

∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，

∴△AEF∽△CAB，故①正確；

②∵DEBM，BEDM，

∴四邊形BMDE是平行四邊形，

∴BM=DE=BC，

∴BM=CM，

∴CN=NF，

∵BE⊥AC于點F，DM∥BE，

∴DN⊥CF，

∴DM垂直平分CF，

∴DF=DC，故②正確；

③∵點E是AD邊的中點，

∴S△DEF=S△ADF，

∵△AEF∽△CBF，

∴AF：CF=AE：BC=，

∴S△CDF=2S△ADF=4S△DEF，故③正確；

④設AE=a，AB=b，則AD=2a，

由△BAE∽△ADC，有，即b=a，

∴tan∠CAD= =．故④正確；

故選A．