Question

18．已知拋物線y₁=$\frac{1}{4}$（x-x₁）（x-x₂）交x軸于A（x₁，0），B（x₂，0）兩點，且點A在點B的左邊，直線y₂=2x+t經過點A，若函數y=y₁+y₂的圖象與x軸只有一個公共點，則線段AB的長為8．

Answer 1

分析 根據題意可以假設y=$\frac{1}{4}$（x+$\frac{t}{2}$）²，再求出y₁=$\frac{1}{4}$x²+（$\frac{1}{4}$t-2）x+$\frac{{t}^{2}}{16}$-t，利用AB=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$即可解決．

解答 解：∵線y₂=2x+t經過點A（x₁，0），
∴2x₁+t=0
∴x₁=-$\frac{t}{2}$，A（-$\frac{t}{2}$，0）
∵若函數y=y₁+y₂的圖象與x軸只有一個公共點，
∴這個公共點就是點A，
∴可以假設y=$\frac{1}{4}$（x+$\frac{t}{2}$）²=$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{4}$tx+$\frac{{t}^{2}}{16}$
∴y₁=y-y₂=$\frac{1}{4}$x²+（$\frac{1}{4}$t-2）x+$\frac{{t}^{2}}{16}$-t．
∴AB=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{（8-t）^{2}-4•（\frac{{t}^{2}}{4}-4t）}$=$\sqrt{64}$=8．
故答案為8．

點評 本題考查二次函數、一次函數的有關知識，還考查了一元二次方程的根與系數的關系，靈活運用頂點式是解決問題的關鍵．