Question

19．如圖，菱形ABCD，點(diǎn)E是邊AB上一點(diǎn)，點(diǎn)F在BC上，AB=4，∠ABC=120°，在以下四個(gè)結(jié)論中，正確的是①②③．
①若AE+CF=4，則△ADE≌△BDF；
②若DF⊥AD，DE⊥CD，則EF=2$\sqrt{3}$；
③若∠DEB=∠DFC，則△BEF的周長的最小值為（4+2$\sqrt{3}$）；
④若DE=DF，則∠ADE+∠FDC=60°．

Answer 1

分析 ①正確，只要證明△ADE≌△BDF即可證明．
②正確，只要證明DF⊥BC，△DEF是等邊三角形即可．
③正確，只要證明△DBE≌△DCF得出△DEF是等邊三角形，因?yàn)椤鰾EF的周長=BE+BF+EF=BF+CF+EF=BC+EF=4+EF，所以等邊三角形△DEF的邊長最小時(shí)，△BEF的周長最小，只要求出△DEF的邊長最小值即可．
④錯(cuò)誤，當(dāng)EF∥AC時(shí)，DE=DF，由此即可判斷．

解答 解：①∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠ABC=120°
∴AD=DC=BC=AB=4，∠ABD=∠DBC=60°，
∴△ADB、△BDC都是等邊三角形，
∴AD=BD，∠DAE=∠DBF=60°，
∵AE+CF=4，BF+CF=4，
∴AE=BF，
在△ADE和△BDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BD}\\{∠DAE=∠DBF}\\{AE=BF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BDF．故①正確．
②∵DF⊥AD，AD∥BC，
∴DF⊥BC，
∵△DBC是等邊三角形，
∴∠BDF=30°，DF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$CD=2$\sqrt{3}$，
同理∠BDE=30°，DE=2$\sqrt{3}$，
∴DE=DF，∠EDF=60°，
∴△EDF是等邊三角形，
∴EF=DE=2$\sqrt{3}$．故②正確．
③在△BDE和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBE=∠DCF}\\{∠DEB=∠DFC}\\{DB=DC}\end{array}\right.$，
∴△DBE≌△DCF，
∴DE=DF，∠BDE=∠CDF，BE=CF，
∴∠EDF=∠BDC=60°，
∴△DEF是等邊三角形，
∵△BEF的周長=BE+BF+EF=BF+CF+EF=BC+EF=4+EF，
∴等邊三角形△DEF的邊長最小時(shí)，△BEF的周長最小，
當(dāng)DE⊥AB時(shí)，DE最小=2$\sqrt{3}$，
∴△BEF的周長最小值為4+2$\sqrt{3}$，故③正確
④錯(cuò)誤，當(dāng)EF∥AC時(shí)，DE=DF，此時(shí)∠ADE+∠FDC是變化的不是定值．故④錯(cuò)誤．
故答案為①②③．

點(diǎn)評(píng) 本題考查菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、最小值問題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形，利用全等三角形的性質(zhì)解決問題，學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化的思想解決問題，所以中考�？碱}型．