Question

如圖在平面直角坐標(biāo)系中，將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在兩坐標(biāo)軸上，且點(diǎn)A（0，2），點(diǎn)C（-1，0），如圖所示點(diǎn)B在拋物線y=ax²+ax-2上．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求拋物線的解析式；
（3）將三角板ABC繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)90°到達(dá)△AB′C′的位置，請(qǐng)寫出點(diǎn)B′坐標(biāo)______，點(diǎn)C′坐標(biāo)______；判斷點(diǎn)B′______，C′______（填“在”或“不”）在（2）中的拋物線上．

Answer 1

解：（1）過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸，垂足為D，
∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠CAO=90°，
∴∠BCD=∠CAO，
又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC，
∴△BCD≌△CAO，
∴BD=OC=1，CD=OA=2，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-3，1）；

（2）∵拋物線y=ax²+ax-2經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（-3，1），
∴1=9a-3a-2，解得a=，
∴拋物線的解析式為：y=x²+x-2；

（3）如圖，過(guò)點(diǎn)B′作B′M⊥y軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)B作BN⊥y軸于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)C″作C″P⊥y軸于點(diǎn)P，
在Rt△AB′M與Rt△BAN中，
∵∠AMB'=∠ANB=90°，∠AB′M=∠BAN=90°-∠B′AM，
∴∠ABN=∠B′AM，
在Rt△AB′M與Rt△BAN．
∵，
∴Rt△AB′M≌Rt△BAN．
∴B′M=AN=1，AM=BN=3，
∴B′（1，-1）．
同理△AC′P≌△CAO，C′P=OA=2，AP=OC=1，可得點(diǎn)C′（2，1）；
將點(diǎn)B′、C′的坐標(biāo)代入y=x²+x-2，可知點(diǎn)B′、C′在拋物線上．
故答案為：（1，-1），（2，1），在，在．
分析：（1）根據(jù)題意，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸，垂足為D；根據(jù)角的互余的關(guān)系，易得B到x、y軸的距離，即B的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)拋物線過(guò)B點(diǎn)的坐標(biāo)，可得a的值，進(jìn)而可得其解析式；
（3）本題的關(guān)鍵是求出B′，C′兩點(diǎn)的坐標(biāo)．過(guò)點(diǎn)B′作B′M⊥y軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)B作BN⊥y軸于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)C″作C″P⊥y軸于點(diǎn)P．然后仿照（1）中求坐標(biāo)時(shí)的方法，通過(guò)證Rt△AB′M≌Rt△BAN來(lái)得出B′的坐標(biāo)．同理可得出C′的坐標(biāo)．然后將兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入拋物線的解析式中，進(jìn)而可判斷出兩點(diǎn)是否在拋物線上．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，重點(diǎn)考查的是待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、三角形全等、圖形旋轉(zhuǎn)變換等重要知識(shí)點(diǎn)；綜合性強(qiáng)，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．