Question

如圖，AB為的直徑，點C在⊙O上，點P是直徑AB上的一點(不與A，B重合)，過點P作AB的垂線交BC的延長線于點Q．

(1)在線段PQ上取一點D，使DQ=DC，連接DC，試判斷CD與⊙O的位置關系，并說明理由．

(2)若cosB=，BP=6，AP=1，求QC的長．

 

 

Answer 1

（1）CD與⊙O相切．證明見解析；（2）QC= ．

【解析】

試題分析：（1）連結OC，由OC=OB得∠2=∠B，DQ=DC得∠1=∠Q，根據(jù)QP⊥PB得到∠Q+∠B=90°，則∠1+∠2=90°，再利用平角的定義得到∠DCO=90°，然后根據(jù)切線的判定定理得到CD為⊙O的切線；

（2）連結AC，由AB為⊙O的直徑得∠ACB=90°，根據(jù)余弦的定義得cosB，可計算出BC，在Rt△BPQ中，利用余弦的定義得cosB，可計算出BQ=10，然后利用QC=BQ﹣BC進行計算即可．

試題解析：（1）CD與⊙O相切．理由如下：

連結OC，如圖，

∵OC=OB，

∴∠2=∠B，

∵DQ=DC，

∴∠1=∠Q，

∵QP⊥PB，

∴∠BPQ=90°，

∴∠Q+∠B=90°，

∴∠1+∠2=90°，

∴∠DCO=180°﹣∠1﹣∠2=90°，

∴OC⊥CD，

而OC為⊙O的半徑，

∴CD為⊙O的切線；

（2）連接AC，如圖，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

在Rt△ABC中，cosB=，

而BP=6，AP=1，

∴BC=，

在Rt△BPQ中，cosB=，

∴BQ=10，

∴QC=BQ﹣BC=10﹣=．

．

考點：1.切線的判定2.解直角三角形．